Exercícios Resolvidos de Campos e Operadores Vetoriais

Ver Teoria

Enunciado

Calcule a integral de linha ∫ C F ⋅ d r , onde C é dada pela função vetorial:

F   ( x ,   y )   =   x y   î   +   3 y ²   ĵ , r   ( t )   =   11 t ⁴   î   +   t ³   ĵ ,   0   ≤   t   ≤   1

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão nos pede para calcular a integral de linha do campo vetorial F ao longo da curva r parametrizada pelo parâmetro real t. Para calcular uma integral de linha, precisamos fazer o produto escalar entre os vetores definidos por F a cada ponto com um vetor deslocamento infinitesimal ao longo da curva parametrizada, que pode ser escrito como

d r = d r d t d t

Então, precisamos calcular o vetor velocidade tangente à curva parametrizada derivando as componentes de r(t) em relação à t:

v = d r d t = d d t 11 t ⁴ ,   t ³ = d d t ( 11 t ⁴ ) ,   d d t ( t ³ ) = ( 44 t ³ ,   3 t ² )

Além disso, o campo vetorial F, para cada ponto de coordenadas (x,y), nos retorna um vetor de componentes

F ( x , y ) = ( x y ,   3 y ² )

Portanto, ao longo da curva r(t), onde os pontos x(t) e y(t) são dados pela expressão (11t⁴, t³), temos que os vetores do campo vetorial F assumem a forma

F ( x ( t ) ,   y ( t ) ) = 11 t ⁴ × t ³ ,   3 ( t ³ ) ² = 11 t ⁷ , 3 t ⁶

Então, como a integral de linha é a integral do produto escalar de F com dr, temos que a nossa integral de linha pode ser escrita como

∫ 0 1 F x ⋅ v x d t + F y ⋅ v y d t = ∫ 0 1 ( 11 t ⁷ ) ( 44 t ³ ) + ( 3 t ⁶ ) ( 3 t ² ) d t

Agora, a gente só precisa integrar a expressão acima. Então vamos lá!

Passo 2

Reescrevendo a integral de linha, obtemos:

∫ 0 1 F ⋅ d r = ∫ 0 1 ( 11 t ⁷ ) ( 44 t ³ ) + ( 3 t ⁶ ) ( 3 t ² ) d t = ∫ 0 1 484 t ¹ ⁰ + 9 t ⁸ d t

Como a integral de um polinômio t n é simplesmente t n + 1 n + 1 e como a integral de uma soma de funções é simplesmente a soma das integrais de cada termo, temos

∫ 0 1 F ⋅ d r = ∫ 0 1 484 t ¹ ⁰ + 9 t ⁸ d t = 484 1 ¹ ¹ 11 + 9 1 ⁹ 9 = 44 + 1 = 45

Resposta

∫ C F ⋅ d r = 45

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule int_c (x - y + z - 2) d s onde C é o segmento de reta x = t , y = (1 - t) , z = 1 de (0,1 , 1) a ( 1,0 , 1 )
Sejam vec f = (x z , z y , x y) e vec g = (x^2 , y^2 , z^2) .Determinar:g) (grad xx vec f) * (grad xx vec g)
Verificar se as seguintes funções são harmônicas em algum domínio.b) f x , y = 2 x 2 - y 2 + y + 10
Verificar se o campo dado é irrotacional.c) vec f (x , y , z) = (y z e^(x y z) , x z e^(x y z) , x y e^(x y z))
Verificar se as seguintes funções são harmônicas em algum domínio.a) f x , y , z = z x + ln ⁡ x y