Exercícios Resolvidos de Campos e Operadores Vetoriais

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Enunciado

Determine o trabalho realizado pelo campo de forças F → x , y = x î + ( y + 2 ) j → ao mover uma partícula ao longo da cicloide r → t = t - sin ⁡ t i → + 1 - cos ⁡ t j → ,   0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 1

Ola meu amigo, Yuri aqui e agora iremos calcular o trabalho realizado por um campo de forçar em um caminho dado. O trabalho é dado por

W = ∫ c F ∙ d r

Que pode ser reescrito como

∫ 0 2 π F ( r t ) ∙ r ' t d t

Utilizando a parametrização na função

F r t = t - sin ⁡ t i + 3 - cos ⁡ t j

r ' t = 1 - cos ⁡ t i + sin ⁡ t j

Então montando nossa integral

∫ 0 2 π   F r t ⋅ r ' t d t = ∫ 0 2 π   t - sen ⁡ t , 3 - cos ⁡ t ⋅ 1 - cos ⁡ t , sen ⁡ t d t

∫ 0 2 π   t - tcos ⁡ t - sen ⁡ t + sen ⁡ tcos ⁡ t + 3 sen ⁡ t - sen ⁡ tcos ⁡ t d t =

∫ 0 2 π t - t cos ⁡ t + 2 sin ⁡ t d t

Passo 2

Agora que montamos nossa integral e a simplificamos, hora de resolver

∫ 0 2 π   ( t - t c o s ⁡ t + 2 s e n ⁡ t ) d t = t 2 2 - ( t s e n ⁡ t + c o s ⁡ t ) - 2 c o s ⁡ t 0 2 π = 2 �� 2

Resposta

2 π 2

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