Exercícios Resolvidos de Campos e Operadores Vetoriais

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Enunciado

Calcule ∫ γ F ∙ d r onde F = - y x 2 + y 2 9 + y , x x 2 + y 2 9 + 3 x se

b) γ é a curva x - 1 2 + y 2 = 4 , percorrida uma vez no sentido horário.

Passo 1

Ola meu amigo, Yuri aqui. Antes de tudo vamos dar uma olhadinha na curva que iremos integrar nossa integral de linha.

De cara da uma super vontade de utilizar o Teorema de Green, mas infelizmente, como podemos ver acima, temos um ponto de singularidade ( 0,0 ) , então teremos que utilizar de uma outra circunferência adequada para retirar essa indeterminação e podermos utilizar o teorema de Green tranquilamente.

Passo 2

As parametrizações para essa questão, são

γ t = 1 + cos ⁡ t , sin ⁡ t

t = 0,2 π

σ t = r cos ⁡ u , 3 r sin ⁡ u

u = [ 0,2 π ]

Nossa integral é então

∫ γ ∪ σ F ∙ d r = ∫ γ F ∙ d r + ∫ σ F ∙ d r = - ∫ ∫ k 2 d x d y ↔ ∫ γ F ∙ d r = - 8 π - ∫ σ F ∙ d σ

Tem-se que

∫ σ F ∙ d σ = ∫ σ - y x 2 + y 2 9 + y , x x 2 + y 2 9 + 3 x ∙ d σ

= lim r → 0 ⁡ ∫ 0 2 π - 3 r sin ⁡ u r 2 + 3 r sin ⁡ u , r cos ⁡ u r 2 + 3 r cos ⁡ u ∙ - r sin ⁡ u ,   3 r cos ⁡ u ∙ d u

= l i m r → 0 ∫ 0 2 π 3 + 3 r 2 cos 2 ⁡ u - sin 2 ⁡ u d u

= ∫ 0 2 π 3 d u = 6 π

∫ γ F ∙ d σ = - 14 π

Resposta

∫ γ F ∙ d σ = - 14 π

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