Exercícios Resolvidos de Campos e Operadores Vetoriais

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Enunciado

Calcule ∫ γ F d r onde   F ( x ,   y ,   z )   = ( x 2   +   y ) î   −   7 y z j ^   +   2 x z 2 k ^ e γ é a curva ligando o ponto ( 0 ,   0 ,   0 )   a   ( 1 ,   1 ,   1 )

γ ( t ) = ( t , t 2 , t 3 )

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 3!!! Queremos Calcular ∫ γ F d r onde   F ( x ,   y ,   z )   =   ( x 2   +   y ) î   −   7 y z j ^   +   2 x z 2 k ^ e γ é a curva ligando o ponto ( 0 ,   0 ,   0 )   a   ( 1 ,   1 ,   1 )

γ ( t ) = ( t , t 2 , t 3 )

Lembram como calculamos esse tipo de integral?

Suponha que temos a curva

γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) ,   a ≤ t ≤ b

E o campo vetorial, F ( x , y , z ) = ( a ( x , y , z ) , b ( x , y , z ) , c ( x , y , z ) ) . Então,

∫ γ F d r = ∫ γ F γ ' ( t ) = ∫ a b a ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) x ' ( t ) + b ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) y ' ( t ) + c ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) z ' ( t )

Agora que revisamos, vamos resolver a questão.

Passo 2

Temos

γ ( t ) = ( t , t 2 , t 3 )

E a curva liga os pontos

( 0 ,   0 ,   0 )   a   ( 1 ,   1 ,   1 )

Logo, temos que 0 ≤ t ≤ 1

Além disso,

γ ' ( t ) = ( 1,2 t , 3 t 2 )

e

x = t

y = t 2

z = t 3

Então nossa integral fica

∫ γ F d r = ∫ 0 1 ( x 2   +   y , −   7 y z ,     2 x z 2 ) ⋅ ( 1,2 t , 3 t 2 )  

∫ 0 1 t 2 + t 2 - 14 t 6 + 6 t 9 d t

Passo 3

∫ 0 1 t 2 + t 2 - 14 t 6 + 6 t 9 d t

integrando,

2 t 3 / 3 - 2 t 7 + 6 t 10 / 10   | t = 1 t = 0

Aplicando os limites de integração.

= - 22 / 30

= - 11 / 15

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

= - 11 / 15

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