Exercícios Resolvidos de Campos e Operadores Vetoriais

Ver Teoria

Enunciado

Calcule

e) ∫ γ - y x 2 + 2 y 2 d x + x x 2 + 2 y 2 d y onde γ é a circunferência de centro 0,1 e raio 3, percorrida no sentido horário. O campo F é conservativo? Justifique sua resposta.

Passo 1

Olá amigo, Yuri aqui e agora iremos resolver essa integral de linha pelo caminho dado. Infelizmente, ao vermos o caminho de γ , temos uma indeterminação no centro ( 0,0 ) o que nos impede de utilizar o Teorema de Green de cara. Então teremos que utilizar de uma circunferência no centro que está nos dando problema, de sentido contrário do de γ para possamos utilizar o Teorema de Green.

Passo 2

Vamos calcular primeiro o rotacional de F

r o t   F = - x 2 - 2 y 2 x 2 + 2 y 2 2 - - x 2 + 2 y 2 x 2 + 2 y 2 2 = 0

Então o que temos é

∫ γ i ∪ σ F ∙ d r = ∫ γ i F ∙ d r + ∫ σ F ∙ d r = ∫ ∫ 0 d x d y ↔ ∫ γ i F ∙ d r = - ∫ σ F ∙ d r

Sendo σ t = r cos ⁡ t , sin ⁡ t 2 ,   t ∈ 0,2 π

∫ σ F ∙ d r = ∫ 0 2 π lim r → 0 + ⁡ - r sin ⁡ t 2 r 2 - r sin ⁡ t d t + r cos ⁡ t r 2 r cos ⁡ t d t 2

= ∫ 0 2 π 1 2 d t = 2 π 2 = 2 π

Portanto

∫ γ i F ∙ d r = - 2 π

Passo 3

Em seu domínio mais amplo, F não é conservativo embora o ratacional seja zero, pois o domínio de F não simplesmente conexo e ∫ γ i F ∙ d r = 0 ,   ∀   γ i tal que a região interna à γ i contenha o ponto 0,0

Resposta

∫ γ i F ∙ d r = - 2 π

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule int_c (x - y + z - 2) d s onde C é o segmento de reta x = t , y = (1 - t) , z = 1 de (0,1 , 1) a ( 1,0 , 1 )
Sejam vec f = (x z , z y , x y) e vec g = (x^2 , y^2 , z^2) .Determinar:g) (grad xx vec f) * (grad xx vec g)
Verificar se as seguintes funções são harmônicas em algum domínio.b) f x , y = 2 x 2 - y 2 + y + 10
Verificar se o campo dado é irrotacional.c) vec f (x , y , z) = (y z e^(x y z) , x z e^(x y z) , x y e^(x y z))
Verificar se as seguintes funções são harmônicas em algum domínio.a) f x , y , z = z x + ln ⁡ x y