Exercícios Resolvidos de Campos e Operadores Vetoriais

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Enunciado

Calcule o trabalho realizado pelo campo de força F ( x , y ) = ( x 2 , y e x ) em uma partícula que se move ao longo da parábola x = 3 + y 2 de ( 3,0 ) até ( 4,1 ) .

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

A questão nos dá um campo vetorial

F ( x , y ) = ( x 2 , y e x )

e pede para que calculemos o trabalho realizado por uma força que tem o mesmo formato para levar uma partícula do ponto P i = ( 3,0 ) até o ponto P f = ( 4,1 ) ao longo da parábola

x = 3 + y 2

Existem diferentes maneiras de fazermos este problema! Mas vamos tentar aplicar a definição de uma integral de linha

W = ∫ C F ( x , y , z ) ⋅ d r = ∫ a b F ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) ⋅ r ' ( t ) d t

em que r ( t ) é a parametrização da parábola dada no problema! Vamos lá!

Passo 2

Vamos parametrizar a nossa parábola, temos que

r ( t ) = ( 3 + t 2 , t )

A derivada desta parametrização é dada por

r ' ( t ) = ( d d t [ 3 + t 2 ] , d d t [ t ] ) = ( 2 t , 1 )

Para escrevermos nossa integral, ainda precisaremos saber quais são os limites de integração! Temos que o caminho desejado vem de P i = ( 3,0 ) até P f = ( 4,1 ) , é direto identificar uma vez que y = t , que os limites de integração vão de 0 até 1 , e então, nosso trabalho será dado por

W = ∫ 0 1 ( ( 3 + t 2 ) 2 , t e 3 + t 2 ) ⋅ ( 2 t , 1 ) d t

Vamos avaliar o produto escalar! E tentar resolver a nossa integral! Bora lá!

Passo 3

Avaliando o produto escalar, temos que

W = ∫ 0 1 ( ( 3 + t 2 ) 2 , t e 3 + t 2 ) ⋅ ( 2 t , 1 ) d t = ∫ 0 1 2 t ( 3 + t 2 ) 2 d t + ∫ 0 1 ( 1 ) t e 3 + t 2 d t

Ou, simplesmente, temos que

W = 2 ∫ 0 1 t ( 3 + t 2 ) 2 d t + ∫ 0 1 t e 3 + t 2 d t

Ambas as integrais tem uma aparência meio amedrontadora, mas podem ser resolvidas por substituição simples de variáveis! Note que os termos de t 2 podem ser derivados para se obter t , portanto, se fizermos

u = 3 + t 2 e d u = 2 t   d t

Podemos escrever cada uma das integrais como

W = ∫ u ( 0 ) u ( 1 ) u 2 d u + 1 2 ∫ u ( 0 ) u ( 1 ) e u d u

Estas duas integrais são bem mais simples de resolver que nosso problema original! Vamos trabalhar em cima delas!

Passo 4

Usando primeiramente que u ( 0 ) = 3 + 0 2 = 3 e que u ( 1 ) = 3 + 1 2 = 4 , podemos identificar a seguinte primitiva

∫ 3 4 u 2 d u = 1 2 + 1 [ u 2 + 1 ] | 3 4 = 1 3 [ u 3 ] | 3 4

que avaliando os limites, resulta em

∫ 3 4 u 2 d u = 1 3 [ 4 3 - 3 3 ] = 37 3

Agora, a segunda integral pode ser identificada como

∫ 3 4 e u d u = e u | 3 4 = e 4 - e 3

Ou seja, o trabalho realizado é

W = 37 3 + 1 2 [ e 4 - e 3 ]

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

W = 37 3 + 1 2 [ e 4 - e 3 ]

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