Exercícios Resolvidos de Campos e Operadores Vetoriais

Ver Teoria

Enunciado

Seja

F → x , y = x x 2 + y 2 α   i → + y x 2 + y 2 α   j →

Determine α para que F → seja solenoidal. Desenhe o campo para o α determinado.

Passo 1

Como vimos na teoria, um campo vetorial é chamada de solenoidal se seu divergente vale 0 .

Ou seja:

d i v   F → = ∇ ∙ F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y = 0

Então, é só calcular o produto escalar e resolver a equação para encontrarmos α .

Então vamos lá!

Passo 2

Precisamos calcular as derivadas parciais:

∂ F 1 ∂ x = ∂ x x 2 + y 2 α ∂ x   e   ∂ F 2 ∂ y = ∂ y x 2 + y 2 α ∂ y  

Que parecem bem bizarras, mas saem pela regra do quociente, certo?

∂ x x 2 + y 2 α ∂ x = 1 ∙ x 2 + y 2 α - x ∙ 2 x ∙ α x 2 + y 2 α - 1 x 2 + y 2 α 2

= x 2 + y 2 α - 1 ∙ x 2 + y 2 - 2 α ∙ x 2 x 2 + y 2 2 α = x 2 + y 2 - 2 α ∙ x 2 x 2 + y 2 α + 1

Um algebrismo meio chato, mas por sorte, podemos repetí-lo para ∂ F 2 ∂ y , é só substituir o que é x por y e vice-versa. Aí temos:

∂ y x 2 + y 2 α ∂ y = x 2 + y 2 - 2 α ∙ y 2 x 2 + y 2 α + 1

Passo 3

Agora é somar e ver no que dá:

∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y = x 2 + y 2 - 2 α ∙ x 2 x 2 + y 2 α + 1 + x 2 + y 2 - 2 α ∙ y 2 x 2 + y 2 α + 1 = 2 x 2 + y 2 - 2 α x 2 + y 2 x 2 + y 2 α + 1

= 2 1 - α x 2 + y 2 α = 0 → 1 - α = 0 → α = 1

Tudo isso pra dar 1 no final, que raiva, né? haha

Resposta

1

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule ∫ c x - y + z - 2 d s onde C é o segmento de reta x = t,y = 1 - t ,z = 1 de 0,1 , 1a( 1,0 , 1 )
Sejam f → = x z , z y , x y e g → = x 2 , y 2 , z 2 .Determinar:g) ∇ × f → ⋅ ∇ × g →
Verificar se o campo dado é irrotacional.c) f → x , y , z = y z e x y z , x z e x y z , x y e x y z
Verificar se as seguintes funções são harmônicas em algum domínio.b) f x , y = 2 x 2 - y 2 + y + 10
Verificar se as seguintes funções são harmônicas em algum domínio.a) f x , y , z = z x + ln ⁡ x y