Exercícios Resolvidos de Campos e Operadores Vetoriais

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Enunciado

Determine o trabalho realizado pelo campo de força F   ( x ,   y ,   z )   =   ( x   −   y ² )   î   +   ( y   −   z ² )   ĵ   +   ( z   −   x ² )   k sobre uma partícula que se move ao longo do segmento de reta de (0, 0, 1) a (2, 1, 0).

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão nos pede para determinar o trabalho realizado sobre uma partícula por uma força F ao longo de um segmento de reta. Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta que liga os pontos (0,0,1) e (2,1,0). Escrevendo uma curva de um parâmetro t:

r ( t ) = ( 2 t ,   t ,   1 - t ) ,     0 ≤ t ≤ 1

Temos que os pontos inicial e final dessa curva são, respectivamente, (0,0,1) e (2, 1, 0). Agora, precisamos descobrir qual forma o campo vetorial F assume sobre a curva. Como sobre a curva os pontos (x, y, z) são da forma ( 2 t ,   t ,   1 - t ), temos que as componentes da força sobre a partícula ao longo da curva é:

F ( x ( t ) ,   y ( t ) ,   z ( t ) ) = 2 t - t ² ,   t - ( 1 - t ) ² ,   ( 1 - t ) - 4 t ²

Então, para calcular a integral de linha, só precisamos integrar o produto escalar da força F(t) com um deslocamento infinitesimal dr ao longo da curva. Calculando o vetor tangente à curva r(t):

v = d r d t = d d t ( 2 t ,   t ,   1 - t ) = ( 2 ,   1 ,   - 1 )

Podemos escrever o deslocamento infinitesimal dr como

d r = d r d t d t = ( 2 d t ,   d t ,   - d t )

Ótimo! Agora já podemos montar a nossa integral de linha. Então vamos lá calcular o produto escalar!

Passo 2

Agora que temos tanto a força quanto o deslocamento em função do parâmetro t, podemos escrever a integral de linha que nos dará o trabalho realizado sobre a partícula integrando o produto das componentes x da força vezes a componente x do deslocamento mais a componente y da força vezes a componente y do deslocamento e assim por diante. Assim, obtemos

W = ∫ 0 1 2 t - t ² ⋅ 2 d t + ∫ 0 1 ( t - ( 1 - t ) ² ) d t - ∫ 0 1 ( 1 - t - 4 t ² ) d t

Resolvendo essa integral, obtemos:

W = ∫ 0 1 2 t - t ² ⋅ 2 d t + ∫ 0 1 ( t - ( 1 - t ) ² ) d t - ∫ 0 1 ( 1 - t - 4 t ² ) d t = 7 3

Resposta

W = 7 3

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