Exercícios Resolvidos de Campos e Operadores Vetoriais

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Enunciado

Calcule a integral ∫ C F ⋅ d r , onde F ( x , y , z ) = ( s e n ( 2 x ) + y 2 3 , c o s ( 2 y ) - x 3 3 , x 3 y z ) e C é a curva dada pela interseção do cone z 2 = x 2 + y 2 com o plano z = 6 orientada no sentido anti-horário

quando visto de cima.

Passo 1

Oiie, tudo certinho com você?

Queremos calcular a seguinte integral de linha

∫ C F ⋅ d r

em que temos um campo vetorial da forma F ( x , y , z ) = ( s e n ( 2 x ) + y 2 3 , c o s ( 2 y ) - x 3 3 , x 3 y z ) , e uma curva obtida da intersecção do cone

z 2 = x 2 + y 2

com o plano z = 6 , esta curva orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Esse último comentário é uma dica que é conveniente para nós utilizar o teorema de Stokes, temos que o teorema diz o seguinte

∫ ∫ S r o t ( F ) ⋅ d S = ∮ C F ⋅ d r

Vamos tentar escrever a nossa integral em termos do lado esquerdo do teorema acima! E, então, checar se realmente é mais conveniente! Bora lá!

Passo 2

Primeiramente, vamos calcular o rotacional do campo vetorial, temos que

Se calcularmos o determinante, temos que

( ∂ ∂ y [ x 3 y z ] - ∂ ∂ z [ c o s ( 2 y ) - x 3 3 ] ) x ^ + ( ∂ ∂ z [ s e n ( 2 x ) + y 2 3 ] - ∂ ∂ x [ x 3 y z ] ) y ^ + ( ∂ ∂ x [ c o s ( 2 y ) - x 3 3 ] - ∂ ∂ y [ s e n ( 2 x ) + y 2 3 ] ) z ^

lembrando que variáveis que não estão sendo derivadas pela derivada parcial são tomadas como constantes, podemos escrever que

( x 3 z - 0 ) x ^ + ( 0 - 3 x 2 y z ) y ^ + ( - x 2 - 2 3 y ) z ^ = ( x 3 z , - 3 x 2 y z , - x 2 - 2 3 y )

Portanto, a nossa integral tem o seguinte formato

∫ ∫ S ( x 3 z , - 3 x 2 y z , - x 2 - 2 3 y ) ⋅ d S = ∮ C F ⋅ d r

Ainda precisamos escrever o elemento de superfície d S , e para isso, iremos precisar de uma parametrização! Vamos tentar encontrar uma!

Passo 3

Podemos tentar parametrizar utilizando coordenadas polares da forma

r ( ρ , θ ) = ( ρ   c o s ( θ ) ,   ρ   s e n ( θ ) ,   z ( ρ , θ ) )

Quem é z ( ρ , θ ) ? Pela equação do cone, temos que

z = x 2 + y 2

Portanto, usando as parametrizações para x e y , e o fato que c o s 2 ( θ ) + s e n 2 ( θ ) = 1 , temos a seguinte

z = ρ

A parametrização é então, a seguinte

r ( ρ , θ ) = ( ρ   c o s ( θ ) ,   ρ   s e n ( θ ) ,   ρ )  

Usando esta parametrização, vamos reescrever a nossa integral de superfície como

∫ ∫ S ( ρ 4   c o s 3 ( θ ) , - 3 ρ 4 c o s 2 ( θ )   s e n ( θ ) , - ρ 2 c o s 2 ( θ ) - 2 3 ρ   s e n ( θ ) ) ⋅ ( r ρ × r θ )   d A

Precisamos então calcular o produto vetorial e fazer o produto escalar! Tem bastante continha! Mas nada muito complicado! Vamo que vamo!

Passo 4

Primeiro vamos calcular os vetores tangentes, para isso vamos derivar parcialmente a nossa parametrização, temos que

r ρ = ∂ ∂ ρ [ ( ρ   c o s ( θ ) , ρ   s e n ( θ ) , ρ ) ] = ( c o s ( θ ) , s e n ( θ ) , 1 )

e, também, temos que

r θ = ∂ ∂ θ [ ( ρ   c o s ( θ ) , ρ   s e n ( θ ) , ρ ) ] = ( - ρ   s e n ( θ ) , ρ   c o s ( θ ) , 0 )

Se fizermos o produto vetorial entre os ambos vetores para encontrar o vetor normal a nossa superfície, temos que

Expandindo o determinante, obtemos que

r ρ × r θ = ( 0 - ρ c o s ( θ ) ) x ^ + ( - ρ   s e n ( θ ) - 0 ) y ^ + ( ρ   c o s 2 ( θ ) - ( - ρ   s e n 2 ( θ ) ) ) z ^

Ou, simplificando a expressão, e usando novamente que c o s 2 ( θ ) + s e n 2 ( θ ) = 1 , obtemos

r ρ × r θ = ( - ρ   c o s ( θ ) , - ρ   s e n ( θ ) , ρ )

Maravilha! Com isso já estamos perto de termos tudo que precisamos para resolver a nossa integral! Precisamos fazer o produto escalar do campo vetorial nas coordenadas da parametrização com o vetor normal acima! Vem comigo!

Passo 5

Temos que o produto escalar é da forma

( ρ 4   c o s 3 ( θ ) , - 3 ρ 4 c o s 2 ( θ )   s e n ( θ ) , - ρ 2 c o s 2 ( θ ) - 2 3 ρ   s e n ( θ ) ) ⋅ ( ( - ρ   c o s ( θ ) , - ρ   s e n ( θ ) , ρ ) )

Expandindo o produto, temos que

- ρ 5 c o s 4 ( θ ) + ρ 5 c o s 2 ( θ ) s e n 2 ( θ ) - ρ 3 c o s 2 ( θ ) - 2 3 ρ 2   s e n ( θ )

Utilizando este resultado e que o elemento de área em coordenadas polares é d A = ρ d ρ d θ , temos que

∫ ∫ S [ - ρ 6 c o s 4 ( θ ) + ρ 6 c o s 2 s e n 2 ( θ ) - ρ 4 c o s 2 ( θ ) - 2 3 ρ 3 s e n ( θ ) ]   d ρ d θ

Uff… Agora faltam apenas os limites de integração! Como temos que o cone intercepta nossa curva em z = 6 , temos que a intersecção nos dá a seguinte circunferência

6 2 = x 2 + y 2

Como essa é uma circunferência de raio 6 , então temos que 0 < θ < 2 π e 0 < ρ < 6 . A nossa integral pode ser então finalmente, dividida em uma soma de integrais duplas da forma

- ∫ 0 2 π ∫ 0 6 ρ 6 c o s 4 ( θ ) d ρ d θ + ∫ 0 2 π ∫ 0 6 ρ 6 c o s 2 s e n 2 ( θ ) d ρ d θ - ∫ 0 2 π ∫ 0 6 ρ 4 c o s 2 ( θ ) d ρ d θ - 2 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 6 ρ 3 s e n ( θ )   d ρ d θ

Algumas integrais aqui são mais simples que outras! Vamos resolver uma de cada vez, belezinha?

Passo 6

A primeira coisa boa de termos escolhido esta parametrização é que as nossas integrações em ρ e θ podem ser feitas em qualquer ordem, sem afetarem uma à outra. Portanto, podemos usar a seguinte primitiva para identificar as integrais em ρ , temos que

∫ 0 6 ρ n d ρ = 1 n + 1 [ ρ n + 1 ] 0 6 = 1 n + 1 [ 6 n + 1 - 0 n + 1 ]

ou, simplesmente, temos que

∫ 0 6 ρ n d ρ = 1 n + 1 [ 6 n + 1 ]

Usando isso em todas as integrais duplas, podemos reduzir o problema à

- 1 6 + 1 [ 6 6 + 1 ] ∫ 0 2 π c o s 4 ( θ ) d θ + 1 6 + 1 [ 6 6 + 1 ] ∫ 0 2 π c o s 2 s e n 2 ( θ ) d θ - 1 4 + 1 [ 6 4 + 1 ] ∫ 0 2 π c o s 2 ( θ ) d θ - 2 3 1 3 + 1 [ 6 3 + 1 ] ∫ 0 2 π s e n ( θ )   d θ

De forma que nos resta resolver as seguintes integrais simples

- 6 7 7 ∫ 0 2 π c o s 4 ( θ ) d θ + 6 7 7 ∫ 0 2 π c o s 2 s e n 2 ( θ ) d θ - 6 5 5 ∫ 0 2 π c o s 2 ( θ ) d θ - 6 4 6 ∫ 0 2 π s e n ( θ )   d θ

Destas integrais algumas são mais simples que outras, o segredo nas mais complicadas é utilizar as relações de ângulo duplo! Saca só!

Passo 7

Temos primeiro a seguinte integral que é mais direta

∫ 0 2 π s e n ( θ )   d θ = - c o s ( θ ) | 0 2 π = - ( c o s ( 2 π ) - c o s ( 0 ) )

como temos que c o s ( 2 π ) = c o s ( 0 ) = 1 , esta integral resulta em

∫ 0 2 π s e n ( θ )   d θ = 0

Agora, vamos resolver a seguinte integral

∫ 0 2 π c o s 2 ( θ ) d θ

Para essa vamos utilizar a relação de ângulo duplo, ou seja, usar que

c o s 2 ( θ ) = 1 2 [ 1 + c o s ( 2 θ ) ]

Isso simplifica bastante a nossa integral, uma vez que obtemos

∫ 0 2 π c o s 2 ( θ ) d θ = 1 2 ∫ 0 2 π [ 1 + c o s ( 2 θ ) ] d θ = 1 2 ∫ 0 2 π d θ + 1 2 ∫ 0 2 π c o s ( 2 θ ) d θ

A primeira integral é bastante direta, nós temos que

∫ 0 2 π d θ = θ | 0 2 π = 2 π

Para a segunda integral, nós temos que

∫ 0 2 π c o s ( 2 θ ) d θ = 1 2 [ s e n ( 2 θ ) ] | 0 2 π = 0

Pois temos que s e n ( 4 π ) = s e n ( 0 ) = 0 . Esta integral toma então a forma

∫ 0 2 π c o s 2 ( θ ) d θ = π

Duas já foram! Vamos dar uma pausa e beber uma água! E, resolver as duas que faltam! Bora para o próximo passo!

Passo 8

Temos que resolver ainda a seguinte integração

∫ 0 2 π c o s 2 ( θ ) s e n 2 ( θ ) d θ

vamos usar a relação de duplo ângulo tanto para o c o s 2 ( θ ) que já usamos no passo anterior, e para o s e n 2 ( θ ) como

s e n 2 ( θ ) = 1 2 [ 1 - c o s ( 2 θ ) ]

A nossa integral fica então como

1 4 ∫ 0 2 π [ 1 + c o s ( 2 θ ) ] [ 1 - c o s ( 2 θ ) ] d θ = 1 4 ∫ 0 2 π [ 1 - c o s 2 ( 2 θ ) ] d θ = 1 4 ∫ 0 2 π d θ - 1 4 ∫ 0 2 π c o s 2 ( 2 θ ) d θ

A primeira integral novamente é bastante direta, temos que

∫ 0 2 π d θ = 2 π

como fizemos no passo anterior, e temos que usar para a segunda integral, novamente a relação de ângulo duplo, de forma que

∫ 0 2 π c o s 2 ( 2 θ ) d θ = 1 2 ∫ 0 2 π [ 1 + c o s ( 4 θ ) ] d θ = 1 2 ∫ 0 2 π d θ + 1 2 ∫ 0 2 π c o s ( 4 θ ) d θ

A primeira integral já resolvemos algumas vezes, ela resulta em 2 π , a segunda é dada por

∫ 0 2 π c o s ( 4 θ ) d θ = - 1 4 [ s e n ( 4 θ ) ] | 0 2 π = 0

Pois temos que s e n ( 8 π ) = s e n ( 0 ) = 0 . Juntando todos os resultados, temos que integral original é

∫ 0 2 π c o s 2 ( θ ) s e n 2 ( θ ) d θ = π 2 - π 4 = π / 4

Ainda falta mais uma integral! Calma lá! Que estamos quase acabando! Saca só!

Passo 9

A integral que falta é essa

∫ 0 2 π c o s 4 ( θ ) d θ

usando a relação de ângulo duplo, temos que

∫ 0 2 π c o s 4 ( θ ) d θ = ∫ 0 2 π c o s 2 ( θ ) c o s 2 ( θ   ) d θ = 1 4 ∫ 0 2 π [ 1 + c o s ( 2 θ ) ] [ 1 + c o s ( 2 θ ) ] d θ

expandindo o produto iremos obter três integrais que já resolvemos antes, temos que

1 4 ∫ 0 2 π [ 1 + c o s ( 2 θ ) ] [ 1 + c o s ( 2 θ ) ] d θ = 1 4 ∫ 0 2 π d θ + 1 2 ∫ 0 2 π c o s ( 2 θ ) d θ + 1 4 ∫ 0 2 π c o s 2 ( 2 θ ) d θ

Juntando os resultados anteriores, temos que

∫ 0 2 π c o s 4 ( θ ) d θ = π 2 + 0 + π 4 = 3 π 4

Maravilha! Temos então finalmente que a integral que queríamos desde o começo será

- 6 7 7 [ 3 π 4 ] + 6 7 7 [ π 4 ] - 6 5 5 [ π ] - 6 4 6 [ 0 ] = - 6 7 π 14 - 6 5 π 5 = - 14 × 6 5 π - 5 × 6 7 π 70

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∮ C F ⋅ d r = - 14 × 6 5 π - 5 × 6 7 π 70

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