Exercícios Resolvidos de Campos e Operadores Vetoriais

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um Curso de Cálculo – volume 3, 5ª edição, Rio de Janeiro: LTC, 2001, pp. 20-1d,e.

Calcule o rotacional:

  1. F → x , y , z = - y   i → + x   j → + z   k →
  2. F → x , y , z = x   i → + y   j → + x z   k →
  3. F → x , y , z = y z   i → + x z   j → + x y   k →
  4. F → x , y = x 2 + y 2   i →
  5. F → x , y = x y   i → - x 2   j →

Passo 1

a)

Na teoria, a gente viu que o rotacional é cálculado a partir de:

r o t   F → = ∇ × F →

Ou seja, o produto vetorial do operador com o campo vetorial. Onde, pra quem não lembra:

∇   = ( ∂ x , ∂ y , ∂ z )

Então, vamos ter algo assim:

i → j → k → ∂ x ∂ y ∂ z F 1 F 2 F 3 = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z i → - ∂ F 3 ∂ x - ∂ F 1 ∂ z j → + ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y k →

Trabalho braçal, galera! Vamos as contas!

∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z i → - ∂ F 3 ∂ x - ∂ F 1 ∂ z j → + ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y k →

= 0 - 0 i → - 0 - 0 j → + 1 - - 1 k → = ( 0,0 , 2 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

De novo, a mesma fórmula do item a):

r o t   F → = ∇ × F →

E calculamos o produto vetorial:

i → j → k → ∂ x ∂ y ∂ z F 1 F 2 F 3 = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z i → - ∂ F 3 ∂ x - ∂ F 1 ∂ z j → + ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y k →

= 0 - 0 i → - z - 0 j → + 0 - 0 k → = ( 0 , - z , 0 )

Passo 3

c)

E mais uma vez, fazemos:

r o t   F → = ∇ × F → = i → j → k → ∂ x ∂ y ∂ z F 1 F 2 F 3

= ∂ x y ∂ y - ∂ x z ∂ z i → - ∂ x y ∂ x - ∂ y z ∂ z j → + ∂ x z ∂ x - ∂ y z ∂ y k →

x - x i → - y - y j → + z - z k → = ( 0,0 , 0 )

Sem mistério, né? Mas ainda faltam duas, não vamos perder o ânimo não!

Passo 4

d)

O campo aqui é bidimensional, então vou usar aquele segredo que te contei na teoria

∇ × F → = ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y k ^ = ∂ 0 ∂ x - ∂ x 2 + y 2 ∂ y k ^ = - 2 y k ^

Não esquece que o rotacional é um vetor, então tem que colocar aquele k ^ para não tomar errado na questão.

Passo 5

e)

Por último, finalmente, temos mais um campo bidimensional:

r o t   F → = ∇ × F → = ∂ x , ∂ y × x y , - x 2 = ∂ - x 2 ∂ x - ∂ x y ∂ y   k → = ( 0,0 , - 3 x )

Ufa, quanta conta! Mas nada que não deu pra fazer, né?

Resposta

  1. ( 0,0 , 2 )
  2. ( 0 , - z , 0 )
  3. ( 0,0 , 0 )
  4. ( 0,0 , - 2 y )
  5. ( 0,0 , - 3 x )

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