Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

Calcule

∫ C   f x , y d s

Onde f x , y = 8 x e C é formada pelo arco C 1 da parábola y = x 2 de 0,0 a 1,1 seguido pelo segmento de reta vertical de ( 1,1 ) a ( 1,2 ) .

Passo 1

Bem aqui temos uma integral de linha escalar, então vamos usar a fórmula:

∫ C   f x , y d s = ∫ a b f x t , y t σ ' → t d t

Até aí tudo bem, só parametrizarmos a curva e tudo mais né? Mas aí que começa a ficar estranho, porque a curva tem dois pedaços, não dá pra parametrizar ela direto . . .

Mas calma, isso não é problema! É só dividirmos a curva assim: C = C 1 ∪ C 2

C 1 vai ser a parábola e C 2 vai ser o segmento de reta! E a integral vai ficar:

∫ C   f x , y d s = ∫ C 1   f x , y d s + ∫ C 2   f x , y d s

Então vamos calcular passo-a-passo cada uma dessas integrais!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro a parábola y = x 2 , que podemos parametrizar assim:

C 1 : σ → t = t , t 2

Como ele diz que vai do ponto 0,0 ao ponto 1,1 , então vamos ter que 0 ≤ t ≤ 1 . E o módulo do vetor tangente:

σ ' → t = d x d t 2 + d y d t 2 = 1 2 + 2 t 2 = 4 t 2 + 1

Substituindo na função:

f x t , y t = 8 x t = 8 t

Agora é só jogar na fórmula!

Passo 3

A gente tinha: ∫ C 1   f x , y d s = ∫ a b f x t , y t σ ' → t d t  

Substituindo:

∫ C 1   f x , y d s = ∫ 0 1 8 t 4 t 2 + 1 d t

Fazendo a substituição:

u = 4 t 2 + 1 ⇒ d u = 8 t   d t

Trocando os limites: t = 0 ⇒ u = 4 0 2 + 1 = 1

t = 1 ⇒ u = 4 1 2 + 1 = 5

Então ficamos com a integral:

∫ 1 5 u d u = 2 3 u 3 2 1 5 = 2 3 5 5 - 1

Show, vamos pra próxima integral agora!

Passo 4

Parametrizando o segmento de reta que vai de 1,1 até 1,2 ficamos com:

C 2 : σ → t = 1 , t

1 ≤ t ≤ 2

E o módulo do vetor tangente vai ser:

σ ' → t = d x d t 2 + d y d t 2 = 0 2 + 1 2 = 1 = 1

Substituindo na função:

f x t , y t = 8 x t = 8

Agora é só jogar na fórmula!

Passo 5

A gente tinha: ∫ C 2   f x , y d s = ∫ a b f x t , y t σ ' → t d t  

Substituindo:

∫ C 2   f x , y d s = ∫ 1 2 8 d t = 8 2 - 1 = 8

Bem menos conta né?! Ainda bem, haha

Passo 6

Agora é só somar as duas integrais:

∫ C   f x , y d s = ∫ C 1   f x , y d s + ∫ C 2   f x , y d s

∫ C   f x , y d s = 2 3 5 5 - 1 + 8 = 10 5 - 2 + 24 3

∫ C   f x , y d s = 10 5 + 22 3

Pronto, fim de papo!

Resposta

10 5 + 22 3

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