Uma partícula se move a o longo da parábola y = x - 1 3 x 2 de tal forma que as componentes vertical e horizontal do vetor aceleração são sempre iguais. Se a partícula gasta 90s para ir do ponto P 3,0 à origem dos eixos, quanto tempo a mesma levará para ir do ponto P ao ponto Q 2 , 2 3 ?

Passo 1

Fala, pessoal. O gatilho dessa questão é perceber que a aceleração varia de direção e módulo de forma a compensar e conseguirmos impor a condição do enunciado e ainda que a velocidade é proporcional a derivada da curva a qual é tangente a esta:

Assim, sendo a curva dada por:

σ t = 3 - t ,   3 - t - 1 3 3 - t 2 = 3 - t , 3 - t 1 - 1 3 3 - t  

= 3 - t , 3 - t t 3   ⇒ σ t = 3 - t ,   t - t 2 3 ,                 0 ≤ t ≤ 3

Agora, teremos que a velocidade da partícula é dada por:

v t = u t σ ' t = u t - 1 ,   1 - 2 t 3

Onde u é escalar. Ainda:

a t = d v t d t = u ' t - 1 ,   1 - 2 t 3 + u t 0 , - 2 3

Agora vai!

Igualando as componentes da aceleração:

a x = a y ⇒ - u ' = u ' 1 - 2 t 3 - 2 u 3 ⇒ u ' 2 - 2 t 3 = 2 u 3 ⇒ u ' 3 - t = u

u ' u = 1 3 - t ⇒ ∫ u ' u d t = ∫ d u u = ∫ 1 3 - t d t ⇒ ln ⁡ u = - l n ⁡ | 3 - t | + C ,       C ∈ R

Logo,

ln ⁡ u = ln ⁡ e C 3 - t   ⇒ u = ± e C 3 - t ⇒ u t = D 3 - t   ,     D ∈ R

Agora, nossas velocidade e aceleração estão definidas a menos dessa constante D, pois v t = u ( t ) σ ' ( t ) .

Passo 2

Para calcular tempo de percurso T X utilizamos a integral de linha até o ponto de chegada X :

T = ∫ 0 T d t = ∫ P → X d s | v | ⇒ T X = ∫ 0 t X | | σ ' t | |     | u ( t ) σ ' ( t ) | d t  

Onde t X é o parâmetro de σ , isto é, X = σ t X . Assim, com t X ∈ 0,3 , temos:

T X = ∫ 0 t X 1 u d t = ∫ 0 t X 3 - t D d t ⇒ T X = 1 D 3 t X - t X 2 2

Repare pois que X x , y = 3 - t X ,   t X - t X 2 3 , logo t X = 3 - x para a coordenada x de chegada. Assim, para X = O , temos t O = 3 - 0 = 3 e:

T O = 1 D 3 ⋅ 3 - 3 2 2 ⇒ 90 = 9 2 D ⇒ 1 D = 20  

Passo 3

Por fim, observe que se X = Q 2 , 2 3 , temos t Q = 3 - 2 = 1 de forma que:

T Q = 1 D 3 t Q - t Q 2 2 = 20 3 - 0.5 = 50 s

Resposta

A partícula leva 50s para chegar a Q .

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C x + 2 y d x + x 2 d y C consiste nos segmentos de reta de ( 0,0 ) a ( 2,1 ) e de ( 2,1 ) a ( 3,0 ) .
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.int_C x y^3 d s , C : x = 4 s e n t , y = 4 cos t , z = 3 t , 0 = t = (pi)/(2)
Determine o valor exato de ∫ C x 3 y 5d s , onde C é a parte da astróide x = cos 3 ⁡ t , y = s e n 3 t no primeiro quadrante.
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.int_C x y^4 d s , C é a m e t a d e d i r e i t a d o c í r c u l o x^2 + y^2 = 16 é í