Calcule a integral de linha

∫ γ x y 2 z d s     c o m   γ ( t ) o   s e g m e n t o   d e   r e t a   e n t r e   ( 1,0 , 1 ) ,   ( 0,3 , 6 )

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 3!!! Queremos Calcular a integral de linha

∫ γ x y 2 z d s     c o m   γ ( t ) o   s e g m e n t o   d e   r e t a   e n t r e   ( 1,0 , 1 ) ,   ( 0,3 , 6 )

Lembram como calculamos uma integral de linha? Vamos revisar.

Suponha que queremos calcular a seguinte integral de linha sobre a curva

∫ γ f ( x ( t ) , y ( t ) ) d s     c o m   γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) ,   a ≤ t ≤ b

Então, nossa integral de linha é dada por:

∫ a b f ( x ( t ) , y ( t ) ) | γ ' ( t ) | d t     c o m   γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) ,   a ≤ t ≤ b

Agora que revisamos, vamos resolver a questão.

Passo 2

Temos

∫ γ x y 2 z d s     c o m   γ ( t ) o   s e g m e n t o   d e   r e t a   e n t r e   ( 1,0 , 1 ) ,   ( 0,3 , 6 )

Nesse caso, como a curva é o segmento de reta entre

( 1,0 , 1 ) ,   ( 0,3 , 6 )

então

γ ( t ) = ( 1,0 , 1 )   +   ( - 1,3 , 5 ) t ,   0 ≤ t ≤ 1

x ( t ) = 1 - t

y ( t ) = 3 t

z ( t ) = 1 + 5 t

Logo,

γ ' ( t ) = ( - 1,3 , 5 )

então

| γ ' ( t ) | = 1 + 9 + 25

= 35

Então nossa integral fica

∫ γ x y 2 z d s

∫ 0 1 ( 1 - t ) 9 t 2 ( 1 + 5 t ) 35 d t

Passo 3

∫ 0 1 ( 1 - t ) 9 t 2 ( 1 + 5 t ) 35 d t

= 9 35 ∫ 0 1 ( t 2 - t 3 + 5 t 3 - 5 t 4 ) d t

integrando

= 9 35 ( t 3 / 3 + t 4 - t 5 ) | t = 1 t = 0

= 9 35 / 3

= 3 35

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

= 3 35

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