Calcule a integral de linha

∫ γ ( x - 2 y 2 ) d y     c o m   γ   s e n d o   y = x 2 ,   - 2 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 3!!! Queremos Calcular a integral de linha

∫ γ ( x - 2 y 2 ) d y     c o m   γ   s e n d o   y = x 2 ,   - 2 ≤ x ≤ 1

Lembram como calculamos uma integral de linha? Vamos revisar.

Note que nesse caso, não estamos integrando em d s , mas sim em d y , como contornamos esse problema. Bem queremos calcular

∫ γ f ( x , y ) d x + g ( x , y ) d y     c o m   γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) ,   a ≤ t ≤ b

como

γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) ,

então

( d x , d y ) = ( γ ' ( t ) )

Então, nossa integral de linha é dada por:

∫ γ f ( x ( t ) , y ( t ) ) d x + g ( x ( t ) , y ( t ) ) d y     c o m   γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) ,   a ≤ t ≤ b

Agora que revisamos, vamos resolver a questão.

Passo 2

Temos

∫ γ ( x - 2 y 2 ) d y     c o m   γ   s e n d o   y = x 2 ,   - 2 ≤ x ≤ 1

Vamos começar calculando a parametrização desta curva.

Como γ   s e n d o   y = x 2 ,   - 2 ≤ x ≤ 1

Nesse caso, temos

γ ( t )   =   ( t , t 2 ) ,   - 2 ≤ t ≤ 1

então

x ( t ) = t

y ( t ) = t 2

Logo,

γ ' ( t ) = ( 1,2 t )

então

( d x , d y ) = ( 1,2 t )

Então nossa integral fica

∫ γ ( x - 2 y 2 ) d y  

∫ - 2 1 ( t - 2 t 4 ) 2 t d t

Passo 3

∫ - 2 1 ( t - 2 t 4 ) 2 t d t

= ∫ - 2 1 ( 2 t 2 - 4 t 5 ) d t

Integrando

= 2 / 3 t 3 - 2 / 3 t 6   | t = 1 t = - 2

= 2 / 3 - 2 / 3   - ( - 2 4 / 3 - 2 7 / 3 )

= ( 2 4 + 2 7 ) / 3

= 48

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

= 48

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C x + 2 y d x + x 2 d y C consiste nos segmentos de reta de ( 0,0 ) a ( 2,1 ) e de ( 2,1 ) a ( 3,0 ) .
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.int_C x y^3 d s , C : x = 4 s e n t , y = 4 cos t , z = 3 t , 0 = t = (pi)/(2)
Determine o valor exato de ∫ C x 3 y 5d s , onde C é a parte da astróide x = cos 3 ⁡ t , y = s e n 3 t no primeiro quadrante.
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.int_C x y^4 d s , C é a m e t a d e d i r e i t a d o c í r c u l o x^2 + y^2 = 16 é í