Calcule ∮ ( 3 y - e sin ⁡ x ) d x + ( 7 x + y 4 + 1 ) d y , onde C é o circulo x 2 + y 2 = 9 .

Passo 1

Olá caro colega, não se desespere, pois, aqui estou mais uma vez para lhe ajudar com cálculo. Hoje iremos realizar uma integração de linha em torno de C, e C graças aos deuses da matemática é um círculo bem tranquilo para parametrizarmos. A primeira coisa que iremos fazer meus caros colegas é a parametrização de C, que costumeiramente utilizamos para isso,

x = r cos ⁡ t

y = r sin ⁡ t

E depois disso, iremos utilizar o nosso querido teorema de Green, pelo simples fato que resolver essa integração na forma que ela se apresenta agora é extremamente trabalhoso, porem utilizando o teorema as coisas serão facilitadas. O teorema do brother Green diz o seguinte, O teorema de Green estabelece uma relação entre uma integral de linha sobre uma curva fechada simples C e uma integral dupla na região D delimitada por C. e isso em termos de integração fica,

∫ C P d x + Q d y = ∫ ∫ ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

Passo 2

Aplicando o teorema,

= ∬ ∂ ∂ x 7 x + y 4 + 1 - ∂ ∂ y 3 y - e sin ⁡ x d A

Como o raio do círculo é 3, então r = 3 e pelo fato de que estaremos dando uma volta completa então θ = 2 π .

= ∫ 0 2 π ∫ 0 3 7 - 3 r d r d θ = 4 ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 3 r d r = 36 π

E assim terminamos nossa questão, e confie em mim, muitoooo mais simples do que resolver de forma direta.

Resposta

36 π

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Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C x + 2 y d x + x 2 d y C consiste nos segmentos de reta de ( 0,0 ) a ( 2,1 ) e de ( 2,1 ) a ( 3,0 ) .
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.int_C x y^3 d s , C : x = 4 s e n t , y = 4 cos t , z = 3 t , 0 = t = (pi)/(2)
Determine o valor exato de ∫ C x 3 y 5d s , onde C é a parte da astróide x = cos 3 ⁡ t , y = s e n 3 t no primeiro quadrante.
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.int_C x y^4 d s , C é a m e t a d e d i r e i t a d o c í r c u l o x^2 + y^2 = 16 é í