Calcule a integral de linha

∫ γ x d s     c o m   γ ( t ) = ( t 3 , t ) ,   0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 3!!! Queremos Calcular a integral de linha

∫ γ x d s     c o m   γ ( t ) = ( t 3 , t ) ,   0 ≤ t ≤ 1

Lembram como calculamos uma integral de linha? Vamos revisar.

Suponha que queremos calcular a seguinte integral de linha sobre a curva

∫ γ f ( x ( t ) , y ( t ) ) d s     c o m   γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) ,   a ≤ t ≤ b

Então, nossa integral de linha é dada por:

∫ a b f ( x ( t ) , y ( t ) ) | γ ' ( t ) | d t     c o m   γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) ,   a ≤ t ≤ b

Agora que revisamos, vamos resolver a questão.

Passo 2

Temos

∫ γ x d s     c o m   γ ( t ) = ( t 3 , t ) ,   0 ≤ t ≤ 1

Nesse caso, como

  γ ( t ) = ( t 3 , t ) ,   0 ≤ t ≤ 1

então

x ( t ) = t 3

y ( t ) = t

Logo,

γ ' ( t ) = ( 3 t 2 , 1 )

então

| γ ' ( t ) | = 9 t 4 + 1

Então nossa integral fica

∫ γ x d s     c o m   γ ( t ) = ( t 3 , t ) ,   0 ≤ t ≤ 1

∫ 0 1 t 3 9 t 4 + 1 d t

Passo 3

∫ 0 1 t 3 9 t 4 + 1 d t

Fazendo u = 9 t 4 + 1 ⇒ d u = 36 t 3 d t . Logo a integral fica

∫ t 3 9 t 4 + 1 d t = 1 36 ∫ u d u

Integrando

= 1 36 * 2 3 u 3 / 2

Voltando para a variável t

= 1 36 * 2 3 ( 9 t 4 + 1 ) 3 / 2

Aplicando os limites de integração

= 1 36 * 2 3 ( 10 ) 3 / 2 = 10 10 - 1 54

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

10 10 - 1 54

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