Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C x y 4 d s   ,                     C   é   a   m e t a d e   d i r e i t a   d o   c í r c u l o   x 2 + y 2 = 16

Passo 1

Fala aí, galera bonita desse mundão! Mais uma questão de integral de linha:

∫ C x y 4 d s

mas dessa vez os nossos valores de x e y são definidos pelas informações dadas pelo enunciado:

C   é   a   m e t a d e   d i r e i t a   d o   c í r c u l o   x 2 + y 2 = 16

O que sabemos da expressão:

x 2 + y 2 = 16

É que podemos escrever os valores de x e y em função de seno e cosseno, enquanto 16 é o valor ao quadrado que multiplica o seno e o cosseno:

x = 4 cos ⁡ t

y = 4   s e n   t    

Ou seja, nossa integral de linha é:

∫ C x y 4 d s = ∫ C 4 cos ⁡ t ⋅ 4 s e n   t 4 d S

E como o enunciado diz que C é apenas metade direita do circulo, temos que os valores de t são:

  - π 2 ≤ t ≤ π 2

Então nosso intervalo de integração é o mesmo:

∫ - π 2 π 2 4 cos ⁡ t ⋅ 4 s e n   t 4 d S

Agora que já deciframos tudo que nosso enunciado nos deu, vamos desenvolver o que nosso conhecimento já sabe!

Passo 2

Agora vamos calcular d s

d s = d x d t 2 + d y d t 2   d t

Já que o valor de x e y são:

x = 4 cos ⁡ t

y = 4   s e n   t    

Então nossa expressão se torna:

d s = d 4 cos ⁡ t d t 2 + d 4 sen ⁡ t d t 2   d t

Derivando separadamente, calculamos:

d x d t = - 4   s e n   t

d y d t = 4 cos ⁡ t

Substituindo na fórmula:

d s = - 4   s e n   t 2 + 4 cos ⁡ t 2   d t = 4 2 s e n 2   t + cos 2 ⁡ t   d t

A virada do jogo aqui é lembrar dessa relação entre o seno e o cosseno:

s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1

Então nossa derivada d S é:

d s = 4 2 s e n 2   t + cos 2 ⁡ t   d t = 4 2 d t

d S = 4   d t

Agora vamos voltar a integral de linha!

Passo 3

Nossa integral de linha é: ∫ - π 2 π 2 4 cos ⁡ t ⋅ 4 s e n   t 4 d S

Como descobrimos no último passo:

d S = 4   d t

Juntando todas essas informações, podemos escrever:

∫ C x y 4 d s = ∫ - π 2 π 2 4 ⋅ 4 4   s e n 4   t ⋅ cos ⁡ t ⋅   4 ⋅ d t

Temos que resolver a integral:

∫ - π / 2 π / 2 4 6   s e n 4   t cos ⁡ t   d t

Vamos colocar para fora o número que está multiplicando a expressão dentro da integral:

∫ C x y 4 d s = 4 6 ∫ - π 2 π 2   s e n 4   t cos ⁡ t   d t

Se realizasmos a substituição:

u = s e n   t

d u = c o s t   d t  

Na substituição, o intervalo de integração muda para:

u 1 = s e n - π 2 = - 1

u 2 = s e n π 2 = 1

Nossa integral se torna:

∫ - 1 1   u 4 d u = u 5 5 - 1 1 = 1 5 - - 1 5

∫ - 1 1   u 4 d u = 2 5

Voltando a nossa integral inicial:

∫ C x y 4 d s = 4 6 ∫ - π 2 π 2   s e n 4   t cos ⁡ t   d t = 4 6 ⋅ 2 5

∫ C x y 4 d s = 4 6 ⋅ 2 5 = 8192 5

Chegamos enfim ao valor final da integral de linha:

∫ C x y 4 d s = 8192 5

Que número gigante é essa resposta nota 10 !

Resposta

8192 5

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Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.int_C x y^3 d s , C : x = 4 s e n t , y = 4 cos t , z = 3 t , 0 = t = (pi)/(2)
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Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.int_C x y^4 d s , C é a m e t a d e d i r e i t a d o c í r c u l o x^2 + y^2 = 16 é í