Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

UFF - Cálculo IIIA - Lista 3, GMA 2015.2 – 14

Um pintor deseja pintar os dois lados de uma cerca cuja base é uma curva C no plano x y dada por x 2 / 3 + y 2 / 3 = 20 2 / 3 , para x ≥ 0 e y ≥ 0 . A altura em cada ponto x , y ∈ C é dada por f x , y = y . Se o pintor cobra R reais por m 2 , quanto ele receberá?

Passo 1

Lembra que a integral de linha é a área embaixo da curva, onde a altura é dada por f x , y ?

Então, essa área vai ser exatamente a área da cerca. E o que ele pede na verdade é:

∫ C f x , y d s

Onde f x , y = y e C é a curva x 2 / 3 + y 2 / 3 = 20 2 / 3 , para x ≥ 0 e y ≥ 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar achando a parametrização dessa curva. Se ela não tivesse aquele sobre 3 no expoente, poderíamos fazer uma substituição de circunferência.

x 2 / 3 + y 2 / 3 = 20 2 / 3

x 1 / 3 2 + y 1 / 3 2 = 20 1 / 3 2

x 1 / 3 20 1 / 3 2 + y 1 / 3 20 1 / 3 2 = 1

Então, vamos fazer algo parecido, olhando pra essa equação como a relação trigonométrica

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

Temos que

x 1 / 3 20 1 / 3 = cos ⁡ t ⇒ x 20 = cos 3 ⁡ t

x = 20 cos 3 ⁡ t

y 1 / 3 20 1 / 3 = sen ⁡ t ⇒ y 20 = sen 3 ⁡ t

y = 20 sen 3 ⁡ t

Pronto temos a nossa parametrização

σ → ( t ) = 20 cos 3 ⁡ t , 20 sen 3 ⁡ t

Ele diz que pegou a parte positiva de x e y , então, vamos ter

cos ⁡ t > 0   e sen ⁡ t > 0 ∴ t ∈ 0 ; π 2

Passo 3

Vamos calcular as derivadas da parametrização

d x d t = - 60 cos 2 ⁡ t sen ⁡ t

d y d t = 60 sen 2 ⁡ t cos ⁡ t

Então, calculamos σ t → ' :

σ t → ' = - 60 cos 2 ⁡ t sen ⁡ t 2 + 60 sen 2 ⁡ t cos ⁡ t 2 = 60 cos 4 ⁡ t sen 2 ⁡ t + sen 4 ⁡ t cos 2 ⁡ t

⇒ 60 cos 2 ⁡ t sen 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 60 cos 2 ⁡ t sen 2 ⁡ t = 60 | cos ⁡ t sen ⁡ t |

Como o enunciado pede cos ⁡ t > 0 e sen ⁡ t > 0 , podemos tirar o módulo e ficar com

60 cos ⁡ t sen ⁡ t

Passo 4

Substituindo na integral

∫ 0 π / 2 20 sen 3 ⁡ t .   60 cos ⁡ t sen ⁡ t d t = 1200 ∫ 0 π / 2 sen 4 ⁡ t cos ⁡ t d t

Vamos achar a integral ignorando os limites de integração

∫ sen 4 ⁡ t cos ⁡ t d t

Fazendo

u = sen ⁡ t

d u = cos ⁡ t d t

Substituindo vamos ter

∫ sen 4 ⁡ t cos ⁡ t d t = ∫ u 4 d u = u 5 5

Desubstituindo

u 5 5 = sen 5 ⁡ t 5

1200 ∫ 0 π / 2 sen 4 ⁡ t cos ⁡ t d t = 1200 sen 5 ⁡ t 5 t = 0 π / 2 = 1200 1 5 = 240

Passo 5

A cerca tem em cada lado uma área de 240 , então a área total que ele vai pintar vai ser

A = 2.240 = 480

O valor gasto vai ser isso vezes R

480 R

Resposta

480 R

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