Calcule a integral de linha

∫ γ x y z d s     c o m   γ ( t ) = ( 2 t , 3 s i n ( t ) , 3 c o s ( t ) ) ,   0 �� t ≤ π / 2

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 3!!! Queremos Calcular a integral de linha

∫ γ x y z d s     c o m   γ ( t ) = ( 2 t , 3 s i n ( t ) , 3 c o s ( t ) ) ,   0 ≤ t ≤ π / 2

Lembram como calculamos uma integral de linha? Vamos revisar.

Suponha que queremos calcular a seguinte integral de linha sobre a curva

∫ γ f ( x ( t ) , y ( t ) ) d s     c o m   γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) ,   a ≤ t ≤ b

Então, nossa integral de linha é dada por:

∫ a b f ( x ( t ) , y ( t ) ) | γ ' ( t ) | d t     c o m   γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) ,   a ≤ t ≤ b

Agora que revisamos, vamos resolver a questão.

Passo 2

Temos

∫ γ x y z d s     c o m   γ ( t ) = ( 2 t , 3 s i n ( t ) , 3 c o s ( t ) ) ,   0 ≤ t ≤ π / 2

Nesse caso, como

( 2 t , 3 s i n ( t ) , 3 c o s ( t ) )

então

x ( t ) = 2 t

y ( t ) = 3 s i n ( t )

z ( t ) = 3 c o s ( t )

Logo,

γ ' ( t ) = ( 2,3 c o s ( t ) , - 3 s i n ( t ) )

então

| γ ' ( t ) | = 4 + 9 c o s 2 + 9 s i n 2

= 13

Então nossa integral fica

∫ γ x y z d s     c o m   γ ( t ) = ( 2 t , 3 s i n ( t ) , 3 c o s ( t ) ) ,   0 ≤ t ≤ 2 π

∫ 0 π / 2 2 t 3 s i n ( t ) 3 c o s ( t ) 13 d t

Passo 3

18 13 ∫ 0 π / 2 t s i n ( t ) c o s ( t ) d t

= 18 / 2 13 ∫ 0 π / 2 t s i n ( 2 t ) d t

Fazendo integração por partes,

= 9 13 ( - t c o s ( 2 t ) / 2   + ∫ c o s ( 2 t )   )

= 9 13 ( - t c o s ( 2 t ) / 2   + s i n ( 2 t ) / 2   )

Aplicando os limites de integração

= 9 / 2 13 ( π / 2   )

= 9 / 4 13 π

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

= 9 / 4 13 π

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