Seja D a região do plano O x y que é interior da região x 2 + y 2 = 4 e o exterior da região x 2 + y 2 = 2 . Se a ∂ D denota a o bordo de D , orientado positivamente, A = ∮ ∂ D s i n s i n   x   - y 3 3 d x + y 3 3 + s i n s i n   y   d y , podemos afirmar que:

Passo 1

Opa amigão, aqui é o Rodolpho do Responde Aí e vim te ajudar a fazer essa questão, e aí vamos lá?

Para resolver essa questão, precisamos primeiramente verificar se o campo é simplesmente conexo, pois as questões pedem.

Segundamente para o cálculo de A podemos utilizar o teorema de Green, pois as curvas são fechadas e a expressão da integral de linha não parece muito amigável.

Ok? Então bora lá.

Passo 2

Primeiramente vamos fazer a análise para verificar se o campo é simplesmente conexo, para isso vamos analisar o integrando de A .

F = ( s i n s i n   x   - y 3 3 ,   y 3 3 + s i n s i n   y   )

Como podemos ver, o campo não possui nenhum ponto de singularidade, portanto ele pode ser dito como simplesmente conexo. Pois, podemos ligar dois pontos quaisquer por uma reta.

Passo 3

Para a resolução da integral vamos utilizar o teorema de green, pois a integral fica mais simples.

Primeiramente vamos calcular o rotacional e para esse cálculo vamos precisar do determinante da seguinte matriz:

∇ x F = i   j   k   ∂ ∂ x   ∂ ∂ y   0   s i n s i n   x   - y 3 3   y 3 3 + s i n s i n   y     0  

Como temos uma coluna de zeros, vamos utilizar a regrinha de Laplace. E assim obtemos o seguinte vetor rotacional:

∇ x F = ( 0,0 , - y 2 )

Nós temos que nossa região de integração está entre os seguintes planos:

4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2

O teorema de green afirma que:

∮ F ∙ d r = ∯ ∇ x F   ∙ k   d A

Aplicando no nosso probleminha e transformando em coordenadas polares temos que:

x = r c o s θ

y = r s e n ( θ )

2 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

Logo, temos que nossa integral se torna:

∮ ∂ D s i n s i n   x   - y 3 3 d x + y 3 3 + s i n s i n   y   d y = ∫ 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 2 - y 2 d A =   - ∫ 0 2 π ∫ 2 2 r 2 s e n 2 θ r   d r d θ

Resultando a seguinte integral:

∮ ∂ D s i n s i n   x   - y 3 3 d x + y 3 3 + s i n s i n   y   d y = - ∫ 0 2 π ∫ 2 2 r 3 s e n 2 θ   d r d θ

Logo temos que:

∫ 0 2 π ∫ 2 2 r 2 s e n 2 θ r   d r d θ = ∫ 0 2 π s e n 2 θ d θ ∫ 2 2 r 3   d r = 3 π  

Resposta

A resposta correta é a letra c).

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