Calcule o comprimento da curva

γ ( t ) = ( a ( t - s i n ( t ) ) , a ( 1 - c o s ( t ) ) ) ,   0 ≤ t ≤ 2 π   e   a > 0

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 3!!! Queremos Calcular o comprimento da curva

γ ( t ) = ( a ( t - s i n ( t ) ) , a ( 1 - c o s ( t ) ) ) ,   0 ≤ t ≤ 2 π   e   a > 0

Lembram como calculamos? Vamos revisar.

Suponha que queremos calcular o comprimento da curva

γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) ,   a ≤ t ≤ b

Então, seu tamanho será dado por:

∫ γ d s   =   ∫ a b | γ ' ( t ) | d t

Agora que revisamos, vamos resolver a questão.

Passo 2

Temos

γ ( t ) = ( a ( t - s i n ( t ) ) , a ( 1 - c o s ( t ) ) ) ,   0 ≤ t ≤ 2 π   e   a > 0

Logo,

γ ' ( t ) = ( a ( 1 - c o s ( t ) ) ,   a s i n ( t ) )

então

| γ ' ( t ) | = a ( 1 - c o s ( t ) ) 2 + s i n 2 ( t )

= a 2 - 2 c o s ( t )

Então nossa integral fica

∫ γ d s     c o m   γ ( t ) = γ ( t ) = ( a ( t - s i n ( t ) ) , a ( 1 - c o s ( t ) ) ) ,   0 ≤ t ��� 2 π   e   a > 0

∫ 0 2 π = a 2 - 2 c o s ( t ) d t

Passo 3

∫ 0 2 π = a 2 - 2 c o s ( t ) d t

Usando a identidade que

1 - c o s ( t ) = 2 s i n 2 ( t / 2 )

Logo a integral fica

2 a ∫ 0 2 π s i n 2 ( t / 2 ) d t

= 2 a ∫ 0 2 π | s i n ( t / 2 ) | d t

separando onde o seno é positivo e negativo,

= 2 a ∫ 0 2 π s i n ( t / 2 ) d t

= - 4 a ( c o s ( t / 2 ) ) | t = 2 π t = 0

Aplicando os limites de integração

= 4 a + 4 a

= 8 a

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

= 8 a

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