Calcule a integral de linha ∫ C F   .   d r , onde C é dada pela função vetorial r t .

F x ,   y = x y   i + 3 y 2   j   ,                     r t = 11 t 4   i + t 3   j   ,           0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Fala aí, pessoal! Tudo bem com vocês? Essa é a nossa hora de mostrar que sabemos muito fazer uma integral de linha, então vamos começar pelo que nosso enunciado nos deu da integral.

O enunciado começou falando a função F :

F x ,   y = x y   i + 3 y 2   j

E a curva C pela função vetorial:

r t = 11 t 4   i + t 3   j

E o intervalo da variável t é:

0 ≤ t ≤ 1

Agora que relembramos o que o enunciado nos deu, vamos ao que ele quer: o enunciado nos pede para calcular a integral de linha. E a integral de linha pode ser reescrita como:

∫ C F   .   d r = ∫ a b F r t   .   r ' t   d t

Onde o intervalo de integração [ a , b ] nada mais é do que o intervalo da variável de integração, no nosso caso, a variável é t , logo nosso intervalo de integração é:

a , b = [ 0,1 ]

Logo:

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 F r t   .   r ' t   d t

Passo 2

Agora vamos aplicar o que conhecemos na fórmula! Primeiro vamos separar quem é o valor de x e y através da curva r ( t ) :

r t = 11 t 4   i + t 3   j

O valor de x é o elemento que acompanha o vetor unitário i :

x = 11 t 4

Enquanto o valor de y é o elemento que acompanha o vetor unitário j :

y = t 3

Logo, a função F ( r ( t ) ) pode ser reescrita a partir de F ( x , y ) , como:

F x , y = x y   i + 3 y 2   j → F r t = 11 ⋅ t 4 ⋅ t 3 i + 3 ⋅ t 3 2 j

Logo, fazendo os produtos dentro das parcelas, temos:

F r t = 11 t 7   i + 3 t 6   j

Então nossa integral se torna:

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 F r t   .   r ' t   d t = ∫ 0 1 ( 11 t 7   i + 3 t 6   j ) .   r ' t   d t

Para completar a integral, temos que calcular a derivada r ' ( t ) !

Passo 3

Sabemos que o valor da função vetorial é:

r t = 11 t 4   i + t 3   j

Derivando essa função:

r ' t = ( 11 t 4 ) '   i + ( t 3 ) '   j

Derivando individualmente cada parcela:

r ' t = ( 11 ⋅ 4 ⋅ t 3 ) i + ( 3 ⋅ t 2 ) j

Chegamos em:

r ' t = 44 t 3   i + 3 t 2   j

Então, aplicando na nossa integral inicial:

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 F r t   .   r ' t   d t = ∫ 0 1 ( 11 t 7   i + 3 t 6   j ) .   ( 44 t 3   i + 3 t 2   j )   d t

Passo 4

Hora de resolver o trabalho que já construímos até aqui:

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 ( 11 t 7   i + 3 t 6   j ) .   ( 44 t 3   i + 3 t 2   j )   d t

Fazendo o produto escalar, ou seja, multiplicar o primeiro elemento do vetor pelo primeiro elemento do primeiro vetor e somar com o segundo elemento do primeiro vetor com o segundo elemento do segundo vetor:

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 [ 11 t 7 ⋅ 44 t 3 + 3 t 6 ⋅ 3 t 2 ]   d t = ∫ 0 1 484 t 10 + 9 t 8   d t

Agora é só resolver a integral obtida:

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 484 t 10 + 9 t 8   d t = 484 ⋅ t 11 11 + 9 ⋅ t 9 9 0 1

Simplificando essa expressão, ficamos com a expressão para substituição:

∫ C F   .   d r = 484 ⋅ t 11 11 + 9 ⋅ t 9 9 0 1 = 44 ⋅ t 11 + t 9 0 1

Substituindo os valores do intervalo de integração:

∫ C F   .   d r = 44 ⋅ 1 11 + 1 9 - 44 ⋅ 0 11 + 0 9 = 44 + 1 - ( 0 + 0 )

∫ C F   .   d r = 44 + 1 = 45

Chegamos no final de nossa integral!

Resposta

45

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C x + 2 y d x + x 2 d y C consiste nos segmentos de reta de ( 0,0 ) a ( 2,1 ) e de ( 2,1 ) a ( 3,0 ) .
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.int_C x y^3 d s , C : x = 4 s e n t , y = 4 cos t , z = 3 t , 0 = t = (pi)/(2)
Determine o valor exato de ∫ C x 3 y 5d s , onde C é a parte da astróide x = cos 3 ⁡ t , y = s e n 3 t no primeiro quadrante.
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.int_C x y^4 d s , C é a m e t a d e d i r e i t a d o c í r c u l o x^2 + y^2 = 16 é í