Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

USP - Cálculo 3 - P1 2015 – 2b

Seja C a curva cujo traço é a parte da elipse x 2 3 + y 2 4 = 1 no primeiro quadrante.

Calcule a massa de C, sendo a densidade δ x , y = x y .

Passo 1

Na teoria, a gente viu que a massa de uma curva é dada pela integral de linha:

C δ x , y d s

A densidade a gente já tem, δ x , y = x y . Então, fica só faltando parametrizar a curva e calcular σ ' t   d t . Vamos lá!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O enunciado nos deu a equação da elipse da seguinte forma:

x 2 3 + y 2 4 = 1

Pra poder parametrizar isso, vamos precisar usar a relação fundamental trigonométrica que diz isso aqui

cos 2 t + sen 2 t = 1

Portanto

x 2 3 = cos 2 t

x 2 = 3 cos 2 t

x = 3 cos t

Agora o mesmo para y

y 2 4 = sen 2 t

y 2 = 4 sen 2 t

y = 2 sen t

Ele tem parametrização:

σ = 3 cos t ,   2 sen t

Mas como só temos o pedaço do primeiro quadrante:

0 t π 2

Passo 3

Vamos lembrar a fórmula de σ ' t d t :

σ ' t d t =   d x d t 2 + d y d t 2 d t

Precisamos colocar as derivas da parametrização dentro da raiz, certo? Vamos calcular elas aqui rapidinho então

x t = 3 cos t x ' t = - 3 sen t

y t = 2 sen t y ' t = 2 cos t

σ ' = - 3 sen t 2 + 2 cos t 2

= 3 sen 2 t + 4 cos 2 t

= 3 sen 2 t + 3 cos 2 t + cos 2 t

= 3 sen 2 t + cos 2 t + cos 2 t = cos 2 t + 3

E agora é só jogar na integral!

Passo 4

Voltando lá, o que a gente queria calcular era:

a b δ x t , y t σ ' t   d t = 0 π 2 3 cos t   2 sen t   cos 2 t + 3   d t

Que parece meio estranho de calcular, mas podemos resolver fazendo a substituição:

u = cos 2 t + 3

d u = 2 cos t - sen t   d t d t = d u - 2 cos t sen t

Então vamos ter:

3 cos t   2 sen t   cos 2 t + 3   d t = - 3 u   d u

= - 3 2 u 3 2 3 = - 3 2 3 cos 2 t + 3 3 2

E aplicando os limites de integração, temos:

2 3 3 - cos 2 t + 3 3 2 0 π 2 = 3 2 3 - 3 3 2 + 4 3 2

= - 18 + 2 3 8 3 = 16 3 - 18 3

Resposta

16 3 - 18 3

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