Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

UFRJ, Cálculo III, P1-2012.2, 3

Calcule a integral de linha da função escalar f x , y = | x | ao longo da curva C parametrizada por

σ : 0 ,   π / 2 R 2 ,   t ( e t cos t , e t sen t )

Passo 1

A integral de linha vai ser representada assim: C   | x | d s

Temos que a = 0 e b = π / 2 pelo próprio enunciado. A parametrização da curva nos dá x t = e t cos t e y t = e t sen t .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começaremos calculando σ ' = d e t cos t d t , d e t sen t d t =

= e t cos t - e t sen t , e t sen t + e t cos t =

= e t cos t - sen t , sen t + cos t

Passo 3

Agora, calculamos σ ' :

σ ' = e 2 t cos t - sen t 2 + e 2 t sen t + cos t 2 =

= e t cos 2 t - 2 cos t sen t + sen 2 t + sen 2 t + 2 cos t sen t + cos 2 t =

= e t 2

Passo 4

Podemos, então, substituir σ ' na integral, escrevendo   | x | em função de t :

0 π / 2 | e t cos t | . e t 2 d t =

= 2 0 π / 2 e 2 t cos t d t =

Passo 5

Vamos, agora, integrar por partes, chamando e 2 t = u e cos t = v ' . Temos 2 e 2 t = u ' e sen t = v .

u v ' = u v - u ' v

e 2 t cos t d t = e 2 t sen t - 2 e 2 t sen t   d t

Chamando, agora, e 2 t = u e sen t = v ' , temos u ' = 2 e 2 t e v = - cos t e a integral passa a ser:

e 2 t cos t d t = e 2 t sen t - 2 - e 2 t cos t + 2 e 2 t cos t d t

e 2 t cos t d t = e 2 t sen t + 2 e 2 t cos t - 4 e 2 t cos t d t =

e 2 t cos t d t = e 2 t ( sen t + 2 cos t ) 5

Substituindo na integral inicial, temos:

2 0 π 2 e 2 t cos t d t = 2 5   e 2 t ( sen t + 2 cos t ) 0 π 2 =

= 2 5 e π 1 + 0 - 1 ( 0 + 2 ) =

Resposta

2 5 e π - 2

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