Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C x   s e n   y d s   ,                     C   é   o   s e g m e n t o   d e   r e t a   q u e   l i g a   0 ,   3   a   ( 4 ,   6 )

Passo 1

Bom dia pra quem é de bom dia e boa noite pra quem ta madrugando, queridos terráqueos!

Nós temos em nossas mãos essa integral de linha para resolver:

∫ C x   s e n   y d s

E como o enunciado nos disse que a curva C é definida por:

C   é   o   s e g m e n t o   d e   r e t a   q u e   l i g a   0 ,   3   a   ( 4 ,   6 )

Vamos relembrar que a equação da reta tem o formato:

y = a ⋅ x + b

Vamos considerar que o valor de y é:

y = t

Então:

t = a ⋅ x + b

Vamos calcular quem é o valor de x , para isso precisamos encontrar os valores de a e b , vamos começar pelo ponto ( 0,3 ) :

3 = a ⋅ 0 + b → 0 + b = 3

Então acabamos de descobrir que o valor de b é 3 . Vamos descobrir o valor de a , usando o ponto ( 4 ,   6 ) :

y = a ⋅ x + b → 6 = a ⋅ 4 + 3

Encontramos que o valor de a :

a = 3 4

Voltando a equação da reta:

t = a ⋅ x + b → t = 3 4 x + 3

Então o valor de x em relação a t :

t - 3 = 3 4 x

x = 4 3 t - 3

Por outro lado, se o valor de y vai variar do ponto 3 até 6 , então o intervalo de t é:

3 ≤ t ≤ 6

Nosso intervalo de integração é o mesmo:

∫ 3 6 x   s e n   y d S

Aplicando os nossos valores de x e y :

∫ 3 6 4 3 t - 3   s e n   t d S

Agora que já temos a integral de linha, temos que calcular d S !

Passo 2

A derivada d S é conhecida por ser igual a

d s = d x d t 2 + d y d t 2   d t

Como nossos valores de x e y são:

x = 4 3 t - 3

y = t

Aplicamos em nossa derivada:

d s = d 4 3 t - 3 d t 2 + d t d t 2   d t

Essa derivada resulta em:

d S = 4 3 2 + 1 2   d t = 25 9   d t

d S = 5 3   d t

Molezinha, então vamos juntar todas essas informações, podemos escrever:

∫ C x   s e n   y d s = ∫ 3 6 4 3 t - 3   s e n   t ⋅ 5 3   d t

Temos que resolver a seguinte integral:

∫ 3 6 20 9 t - 3   s e n   t   d t

Passo 3

Agora vamos resolver a integral obtida, por partes:

∫ 3 6 20 9 t - 3   s e n   t   d t = 20 9 3 - t cos ⁡ t 3 6 - ∫ 3 6 - 20 9 cos ⁡ t d t

Substituiindo os valores do intervalo de integração e a segunda derivada:

∫ C x   s e n   y d s = 20 9 - 3 cos ⁡ 6 - 0 + 20 9 s e n   t 3 6

Acabamos em:

∫ C x   s e n   y d s = 20 9 ( - 3 cos ⁡ 6 + s e n   6 - s e n   3 )

Resposta

20 9 ( s e n   6 - 3 cos ⁡ 6 - s e n   3 )

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Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C x + 2 y d x + x 2 d y C consiste nos segmentos de reta de ( 0,0 ) a ( 2,1 ) e de ( 2,1 ) a ( 3,0 ) .
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.int_C x y^3 d s , C : x = 4 s e n t , y = 4 cos t , z = 3 t , 0 = t = (pi)/(2)
Determine o valor exato de ∫ C x 3 y 5d s , onde C é a parte da astróide x = cos 3 ⁡ t , y = s e n 3 t no primeiro quadrante.
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.int_C x y^4 d s , C é a m e t a d e d i r e i t a d o c í r c u l o x^2 + y^2 = 16 é í