Calcule a integral de linha ∫ C ( x + y x 5 ) d s onde C é a metade inferior da circunferência x 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

Eaew, tudo bem?

O enunciado pede para que calculemos a seguinte integral de linha

∫ C ( x + y x 5 ) d s

ao longo da curva C dada pela seguinte circunferência

x 2 + y 2 = 4

Mas como fazemos isso? Vamos lembrar que para calcular uma integral de linha, é necessário utilizar uma parametrização da curva e aplicar a seguinte definição

∫ C f ( x , y ) d s = ∫ a b f ( x ( t ) , y ( t ) ) | r ' ( t ) | d t

em que r ( t ) é a parametrização da nossa curva, dada por

r ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) )

Belezinha? Vamos tentar resolver este problema agora! Vem comigo!

Passo 2

A primeira coisa que precisamos fazer é parametrizar a nossa curva, uma circunferência é parametrizada sempre da mesma maneira, temos que

r ( t ) = ( r   c o s ( t ) , r   s e n ( t ) )

em que r é o raio da circunferência. Em nosso caso, podemos identificar que r = 2 , já que a expressão da circunferência é tal que

x 2 + y 2 = r 2

Portanto, a nossa curva é

r ( t ) = ( 2   c o s ( t ) , 2   s e n ( t ) )

Ótimo! Agora, precisamos calcular o módulo da derivada desta curva, e encontrar os limites de integração adequados! Vamos lá!

Passo 3

Primeiro, temos que

r ' ( t ) = ( 2 d d t ( c o s ( t ) ) , 2 d d t ( s e n ( t ) ) )

Temos que d d t ( c o s ( t ) ) = - s e n ( t ) e que d d t ( s e n ( t ) ) = c o s ( t ) , portanto, a derivada de nossa curva é

r ' ( t ) = ( - 2   s e n ( t ) , 2   c o s ( t ) )

Agora, qual é o módulo da derivada? O módulo de uma curva com dois componentes é tal que

| r ' ( t ) | = ( - 2   s e n ( t ) ) 2 + ( 2   c o s ( t ) ) 2 = 4   s e n 2 ( t ) + 4   c o s 2 ( t )

Colocando o 4 em evidência e usando que s e n 2 ( t ) + c o s 2 ( t ) = 1 , obtemos simplesmente que

| r ' ( t ) | = 4 = 2

Maravilha! Temos quase tudo que precisamos para resolver a nossa integral! Vamos determinar os limites de integração agora!

Passo 4

Temos que a nossa curva é a metade inferior de uma circunferência, ou seja

Como t faz o papel do ângulo, note que a nossa curva começa em t = π e vai até t = 0 , portanto, usando tudo que calculamos até agora e essa informação, a integral que precisamos resolver é

∫ C ( x + y x 5 ) d s = ∫ π 0 ( 2   c o s ( t ) + 2   s e n ( t )   [ 2   c o s ( t ) ] 5 ) ( 2 )   d t

Que pode ser divida em duas integrais da forma

∫ π 0 ( 2   c o s ( t ) + 2   s e n ( t )   [ 2   c o s ( t ) ] 5 ) ( 2 )   d t = 4 ∫ π 0 c o s ( t ) d t + 128   ∫ π 0 s e n ( t ) c o s 5 ( t ) d t

Agora é utilizar os métodos de cálculo 1, vamos lá!

Passo 5

Primeiro, lembrando a seguinte primitiva

∫ π 0 c o s ( t ) d t = s e n ( t ) | π 0 = s e n ( 0 ) - s e n ( π )

Como s e n ( 0 ) = s e n ( π ) = 0 , temos que

∫ π 0 c o s ( t ) d t = 0 - 0 = 0

Agora, vamos trabalhar a segunda integral! Quando temos um produto de seno e cosseno, como acima, podemos usar substituição simples, chamando o termo com maior potência de u , temos que

u = c o s ( t ) e d u = - s e n ( t ) d t

usando então que s e n ( t ) d t = - d u , temos a seguinte integral

∫ π 0 s e n ( t ) c o s 5 ( t ) d t = - ∫ u ( π ) u ( 0 ) u 5 d u

Lembra como se resolve esse tipo de integral? Vem comigo!

Passo 6

Primeiro, usando que u ( 0 ) = c o s ( 0 ) = 1 e que u ( π ) = c o s ( π ) = - 1 , temos que

- ∫ u ( π ) u ( 0 ) u 5 d u = - ∫ - 1 1 u 5 d u

Integrais de polinômios podem ser identificadas como a seguinte primitiva

- ∫ - 1 1 u 5 d u = - ( u 5 + 1 5 + 1 ) | - 1 1 = - 1 6 ( u 6 ) - 1 1

Avaliando então os limites de integração, temos que

- 1 6 ( u 6 ) - 1 1 = - 1 6 ( 1 6 - ( - 1 ) 6 ) = - 1 6 ( 1 - 1 )

Ou seja, temos que

- ∫ - 1 1 u 5 d u = 0

De forma que com o resultado das duas integrais obtidas, temos que a integral original é

4 ∫ π 0 c o s ( t ) d t + 128   ∫ π 0 s e n ( t ) c o s 5 ( t ) d t = 4 ( 0 ) + 128 ( 0 ) = 0

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ C ( x + y x 5 ) d s = 0

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