Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C y 3 d s   ,                     C :         x = t 3   ,   y = t   ,       0 ≤ t ≤ 2

Passo 1

Galera, espero que vocês estejam prontos para arrasar em mais uma questão, essa é a única saída!

Nessa questão, a gente tem que escrever a integral de linha como uma integral iterada, mudando para a variável t , conforme a curva C .

Como o enunciado nos disse que:

0 ≤ t ≤ 2

Então esses serão os nossos limites de integração:

∫ 0 2 y 3 d S

O enunciado também nos disse que:

y = t

Então na nossa função dentro da integral, podemos substituir

y 3 = t 3

Nossa integral se torna:

∫ 0 2 t 3 d S

Passo 2

Agora nos perguntamos quem é essa expressão d S :

d s = d x d t 2 + d y d t 2   d t

Como sabemos que:

x = t 3

y = t

Substituindo em nossa expressão de d S :

d s = d t 3 d t 2 + d t d t 2   d t

Primeiro vamos resolver as derivadas em cada um dos termos:

d S = 3 t 2 2 + 1 2 d t = 9 t 4 + 1   d t

Passo 3

Juntando todas essas informações, podemos escrever:

∫ C y 3 d s = ∫ 0 2 t 3 9 t 4 + 1   d t

Agora vamos resolver a integral obtida:

∫ 0 2 t 3 9 t 4 + 1   d t = 9 t 4 + 1 3 2 3 2   .   9   .   4 0 2

Aplicando os valores do intervalo de integração:

∫ 0 2 t 3 9 t 4 + 1   d t = 9 ⋅ ( 2 ) 4 + 1 3 / 2 54 - 9 ⋅ ( 0 ) 4 + 1 3 / 2 54

∫ 0 2 t 3 9 t 4 + 1   d t = 145 3 2 54 - 1 54 = 145 145 - 1 54

Pode parecer estranha, mas essa é a nossa resposta certinha! Fica tranquilo e confia no seu taco!

Resposta

145 145 - 1 54

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Calcule o valor da integral de linha, onde C é a curva dada.
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada. ∫ C x + 2 y d x + x 2 d y C consiste nos segmentos de reta de ( 0,0 ) a ( 2,1 ) e de ( 2,1 ) a ( 3,0 ) .
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.int_C x y^3 d s , C : x = 4 s e n t , y = 4 cos t , z = 3 t , 0 = t = (pi)/(2)
Determine o valor exato de ∫ C x 3 y 5d s , onde C é a parte da astróide x = cos 3 ⁡ t , y = s e n 3 t no primeiro quadrante.
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.int_C x y^4 d s , C é a m e t a d e d i r e i t a d o c í r c u l o x^2 + y^2 = 16 é í