Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada

(a) ∫ C y 3 d s , C   : �� x   =   t 3   ,   y   =   t ,   0   ≤   t   ≤   2

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que calcular a integral

∫ C y 3 d s , C   :   x   =   t 3   ,   y   =   t ,   0   ≤   t   ≤   2

Sabendo que a integral de linha é dada por

∫ C y 3 d s = ∫ a b f ( x ( t ) ,   y ( t ) ) ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t

Então vamos lá!

Passo 2

Vamos resolver a integral

∫ C y 3 d s , C   :   x   =   t 3   ,   y   =   t ,   0   ≤   t   ≤   2 .

Então, temos

∫ 0 2 y ( t ) 3 ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t .

Passo 3

Vamos calcular ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 , sendo

d x d t = d t 3 d t = 3 t 2

d y d t = d t d t = 1

Assim,

( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 = ( 3   t 2 ) 2 + ( 1 ) 2

( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 = 1 + 9   t 4 .

Passo 4

Voltando para a integral

∫ 0 2 t 3 1 + 9   t 4 d t .

Resolvendo por substituição simples, u = 1 + 9   t 4 e d u = 36   t 3 d t

∫ 0 2 t 3 1 + 9   t 4 d t = ∫ t = 0 2 1 36 u   d u = 1 36 2 3 ( 1 + 9 t 4 ) 3 2 | 2 0 = 1 36 2 3 [ ( 145 ) 3 2 - 1 ]

∫ C y 3 d s = 145 145 - 1 54 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ C y 3 d s = 145 145 - 1 54 .

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