Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

Integrais de linha – caso escalar

Calcule ∫ C   f d s onde C é a parte da curva dada por 4 x 2 + 9 y 2 = 36 contida no primeiro quadrante, sendo f x , y = x y .

Passo 1

Essa curva pode ser escrita como:

x 2 9 + y 2 4 = 1

Fazendo x = 3 cos ⁡ θ e y = 2 sen ⁡ θ , sua parametrização será:

σ → = ( 3 cos ⁡ θ ,   2 sen ⁡ θ )

Como queremos a parte do 1º quadrante, temos 0 ≤ θ ≤ π / 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos, agora, calcular σ → ' : σ → ' = d 3 cos ⁡ θ d θ , d 2 sen ⁡ θ d θ = ( - 3 sen ⁡ θ , 2 cos ⁡ θ )

Passo 3

Agora, calculamos σ → ' :

σ → ' = - 3 sen ⁡ θ 2 + 2 cos ⁡ θ 2 =

= 9 sen 2 ⁡ θ + 4 cos 2 ⁡ θ =

= 9 sen 2 ⁡ θ + 4 ( 1 - sen 2 ⁡ θ ) =

= 5   sen 2 ⁡ θ + 4

Passo 4

Podemos, então, substituir σ → ' na fórmula abaixo, escrevendo   x y em função de θ :

∫ a b f x θ ,   y θ .   | σ → ' |   d θ

∫ 0 π / 2 3 cos ⁡ θ ⋅ 2 sen ⁡ θ ⋅ 5 sen 2 ⁡ θ + 4 d θ =

= 6 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ 5 sen 2 ⁡ θ + 4   d θ =

Passo 5

Se fizermos 5 sen 2 ⁡ θ + 4 = u , temos 10 sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ = d u .

θ = π 2 → u = 9

θ = 0 → u = 4

A integral passa a ser:

= 6 ∫ 4 9 u   d u 10 =

= 3 5 × 2 3 u 3 / 2 4 9 =

= 2 5 27 - 8 =

Resposta

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