Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

Calcule a área de uma lado da superfície S cuja base é a circunferência x 2 + y 2 = 1 , no plano x y , e a altura em cada ponto x , y é f x , y = 1 - x 2 .

Passo 1

Aqui a gente precisa achar a área de uma superfície, mas o que isso tem a ver com integral de linha? Na verdade, tudo! Vamos ver como é essa superfície aí:

Ou seja, a gente pode dizer que a superfície é a área entre uma função e aquela circunferência da base. E assim como para integrais unidimensionais que representam a área entra a função e o eixo, podemos interpretar a área entre uma função e a curva como um a integral de linha!

O que vamos ter, então, é essa fórmula:

∫ C f x , y d s = ∫ a b f x t , y t σ → d t

Onde C vai ser a circunferência e f x , y = 1 - x 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar parametrizando a curva, que é uma circunferência de raio 1 , então podemos parametrizá-la assim:

C : σ → ' t = cos ⁡ t , sen ⁡ t ,       0 ≤ t ≤ 2 π

E o módulo do vetor tangente fica:

σ → ' t = d x d t 2 + d y d t 2 = sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1

Tranquilo, agora vamos só substituir tudo na fórmula.

Passo 3

Já temos tudo o que precisamos, então é só jogarmos na fórmula:

∫ 0 2 π 1 - cos 2 ⁡ t 1 d t

Vamos lembrar que cos 2 ⁡ t = 1 + cos ⁡ 2 t 2 :

∫ 0 2 π 1 - 1 + cos ⁡ 2 t 2 d t = ∫ 0 2 π 1 - cos ⁡ 2 t 2 d t

⇒ 1 2 t │ 0 2 π - sen ⁡ 2 t 2 │ 0 2 π = π

Pronto, tudo feito!

Resposta

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