Calcule a Integral de Linha escalar ∫ C x 2 + y 2 d s , onde a curva C tem equação r = e θ , em coordenadas polares, com ponto inicial A = ( 1,0 ) e ponto final B = 0 , - e 3 π 2 .

Passo 1

Pra começar essa questão eu preciso que você observe que logo de cara questão falou pra gente que a curva C tem a equação que já está em coordenadas polares, tranquilo?

Ele nos fala que r = e θ , oque significa que nossa parametrização então fica como:

r θ = ( e θ c o s θ ,   e θ s e n θ )

Mas e o intervalo de variação?

Passo 2

Nossa curva tem ponto incial em A = 1,0 e final em B = 0 , - e 3 π 2 , logo

r a = e a cos ⁡ a ,   e a s e n a = ( 1,0 )

r b = e b c o s b ,   e b s e n b = 0 , - e 3 π 2

Com isso ficamos com

e a cos ⁡ a = 1

e a s e n a = 0

Logo, a = 0

e b c o s b = 0

e b s e n b = - e 3 π 2

Logo, b = 3 π 2

Passo 3

Pra integral de linha vamos precisar ainda do módulo da derivada da parametrização

r θ = ( e θ c o s θ ,   e θ s e n θ )

r ' θ = e θ ( c o s θ - s e n θ ,   c o s θ + s e n θ )

r ' θ = 2 e θ

Montando então a integral ficamos com

∫ a b x 2 + y 2 d s =   ∫ 0 3 π 2 e 2 θ cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ 2 e θ d θ

2 ∫ 0 3 π 2 e 3 θ d θ =

= 2     e 9 π 2 - 1 3  

Resposta

2     e 9 π 2 - 1 3  

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