Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

Integrais de linha – caso escalar

Calcule a integral de linha de função escalar

∫ C   | y | d s

ao longo da curva plana C com parametrização dada por

γ θ = e θ cos ⁡ θ , e θ sen ⁡ θ ,   θ ∈ [ 0,3 π ]

Passo 1

Temos que ∫ C   | y | d s = ∫ a b f x θ ,   y θ ⋅   γ → ' d θ

Temos que a = 0 e b = 3 π pelo próprio enunciado. A parametrização da curva nos dá x θ = e θ cos ⁡ θ e y θ = e θ sen ⁡ θ .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começaremos calculando γ → ' : γ → ' = d e θ cos ⁡ θ d θ , d e θ sen ⁡ θ d θ =

= e θ cos ⁡ θ - e θ sen ⁡ θ , e θ sen ⁡ θ + e θ cos ⁡ θ =

= e θ cos ⁡ θ - sen ⁡ θ , sen ⁡ θ + cos ⁡ θ

Passo 3

Agora, calculamos γ → ' :

γ → ' = e 2 θ cos ⁡ θ - sen ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ + cos ⁡ θ 2 =

= e θ cos 2 ⁡ θ - 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ + 2 cos ⁡ θ sen ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ =

= e θ 2

Passo 4

Podemos, então, substituir γ → ' na integral, escrevendo   | y | em função de θ :

∫ 0 3 π | e θ sen ⁡ θ | . e θ 2 d θ =

∫ 0 3 π e θ | sen ⁡ θ | . e θ 2 d θ =

Calma, agora vamos pensar por partes:

sen ⁡ θ > 0 ; 0 ≤ θ ≤ π         → sen ⁡ θ = sen ⁡ θ

sen ⁡ θ < 0 ; π ≤ θ ≤ 2 π         → sen ⁡ θ = - sen ⁡ θ

sen ⁡ θ > 0 ; 2 π ≤ θ ≤ 3 π         → sen ⁡ θ = sen ⁡ θ

Portanto, podemos dividir nossa integral em três partes:

I = 2 ∫ 0 π e 2 θ sen ⁡ θ d θ - ∫ π 2 π e 2 θ sen ⁡ θ d θ + ∫ 2 π 3 π e 2 θ sen ⁡ θ d θ

Passo 5

Vamos, agora, integrar por partes, chamando e 2 θ = u e sen ⁡ θ = v ' . Temos 2 e 2 θ = u ' e - cos ⁡ θ = v .

∫ u v ' = u v - ∫ u ' v

∫ e 2 θ sen ⁡ θ d θ = - e 2 θ cos ⁡ θ + 2 ∫ e 2 θ cos ⁡ θ   d θ

Chamando, agora, e 2 θ = u e cos ⁡ θ = v ' , temos u ' = 2 e 2 θ e v = s e n   θ e a integral passa a ser:

∫ e 2 θ sen ⁡ θ d θ = - e 2 θ cos ⁡ θ + 2 e 2 θ sen ⁡ θ - 2 ∫ e 2 θ sen ⁡ θ d θ

∫ e 2 θ sen ⁡ θ d θ = - e 2 θ cos ⁡ θ + 2 e 2 θ sen ⁡ θ - 4 ∫ e 2 θ sen ⁡ θ d θ =

∫ e 2 θ sen ⁡ θ d θ = e 2 θ ( 2 sen ⁡ θ - cos ⁡ θ ) 5

Substituindo nas integrais iniciais, temos:

I = 2 ∫ 0 π e 2 θ sen ⁡ θ d θ - ∫ π 2 π e 2 θ sen ⁡ θ d θ + ∫ 2 π 3 π e 2 θ sen ⁡ θ d θ

= 2 5   e 2 θ 2 sen ⁡ θ - cos ⁡ θ 0 π -   e 2 θ 2 sen ⁡ θ - cos ⁡ θ π 2 π +   e 2 θ ( 2 sen ⁡ θ - cos ⁡ θ ) 2 π 3 π =

= 2 5 1 + 2 e 2 π + 2 e 4 π + e 6 π

Resposta

2 5 1 + 2 e 2 π + 2 e 4 π + e 6 π

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas