Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

Integrais de linha – caso escalar

Calcule a massa da curva cujo traço é a parte da elipse x 2 3 + y 2 4 = 1 no primeiro quadrante com densidade δ x , y = x y .

Passo 1

O problema nos pede a massa da curva, sendo que nos foi dada a densidade de massa δ x , y . Sendo d s um comprimento infinitesimal do fio e d m o diferencial de massa, podemos dizer isso aqui:

d m = δ x , y d s

Certo? Integrando dos dois lados ao longo da curva γ que representa o fio, temos o seguinte:

M = ∫ γ   δ x , y d s

Então, precisamos resolver essa integral de linha daí.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, antes de tudo precisamos parametrizar essa curva γ né? Temos a seguinte equação:

x 2 3 + y 2 4 = 1

Como se trata de uma elipse, a boa é usar coordenadas elípticas. Para cancelar esses denominadores 3 e 4 , vamos fazer o seguinte:

x = 3 cos ⁡ θ

y = 2   s e n   θ

Assim, substituindo essas definições na equação da elipse, satisfazemos a identidade s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 .

Logo, uma parametrização para a nossa curva seria

σ → = ( 3 cos ⁡ θ , 2 sen ⁡ θ )

Como temos apenas o 1º quadrante, 0 ≤ θ ≤ π / 2 .

Passo 3

Vamos, agora, calcular σ → ' : σ → ' = d 3 cos ⁡ θ d θ , d 2 sen ⁡ θ d θ = ( - 3   s e n   θ , 2 cos ⁡ θ )

Passo 4

Agora, calculamos σ → ' :

σ → ' = - 3   s e n   θ 2 + 2 cos ⁡ θ 2 =

= 3 s e n 2 θ + 4 cos 2 ⁡ θ =

= 3 + cos 2 ⁡ θ =

Passo 5

Podemos, então, substituir σ → ' na fórmula abaixo, escrevendo   x y em função de x , nosso parâmetro:

M = ∫ C   δ x , y d s = ∫ a b δ x θ ,   y θ ⋅   σ → ' d θ

Com a parametrização   σ → = ( 3 cos ⁡ θ , 2 sen ⁡ θ ) a função que vamos integrar

δ x , y = x y

Passa a ser

δ x θ , y θ = 2 3 s e n θ cos ⁡ θ

Então a integral fica

∫ γ   δ   d s = ∫ 0 π / 2 2 3 s e n θ cos ⁡ θ 3 + cos 2 ⁡ θ d θ

Repare que o intervalo da integral é aquele que encontramos para θ na parametrização!

Passo 6

Agora falta resolver a integral né? Vamos fazer:

3 + cos 2 ⁡ θ = u

- 2   s e n θ cos ⁡ θ d θ = d u

θ = 0               →           u = 4

θ = π 2               →           u = 3

= - 3 ∫ 4 3 u d u =

= - 2 3 3 u 3 / 2 4 3 =

= 2 3 3 8 - 3 3 =

= 16 3 - 18 3

Resposta

16 3 - 18 3

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas