Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

(6) A integral da função escalar f x ,   y = x 2 ao longo da curva parametrizada por

e sin ⁡ t - 1 ,   e sin ⁡ t - 1 ,       0 < t < π / 2 ,

é igual a

  1. 1 3 e - 1 3 ⋅ 2
  2. 0
  3. 1 3 e - 1 2
  4. 1 3
  5. 2

Passo 1

Bem, antes começarmos a mexermos com a matemática da coisa, queremos uma integral de linha de uma função de f x ,   y = x 2 , em cima de uma curva que vamos chamar de C . Logo o que queremos é:

∫ C   f x ,   y d s

Para resolver integrais de linha do modo direto como nos é pedido aqui nesse problema, sempre vamos seguir os três passinhos aqui:

  1. Parametrizar a curva
  2. Trocar os termos da função pelos da parametrização
  3. Encontrar o termo d s

Bora?! :D

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A curva que estamos trabalhando, para a nossa alegria, já está parametrizada

  r → t = e sin ⁡ t - 1 ,   e sin ⁡ t - 1

e dela tiramos:

x = e sin ⁡ t - 1

y = e sin ⁡ t - 1

Sendo assim, a nossa primeira função aqui é justamente mudar a função f x ,   y = x 2 para os termos dessa parametrização (basta trocar esse x ):

f x ,   y = x 2           →

f r → t = e sin ⁡ t - 1 2

Passo 3

Devemos agora encontrar o termo d s fazendo

d s = r → ' t d t

Calculando a derivada da parametrização   r → t = e sin ⁡ t - 1 ,   e sin ⁡ t - 1 ...

r → ' t = e sin ⁡ t ⋅ cos ⁡ t ,   e sin ⁡ t ⋅ cos ⁡ t

r → ' t = e sin ⁡ t ⋅ cos ⁡ t 2 + e sin ⁡ t ⋅ cos ⁡ t 2   →

r → ' t = 2 e sin ⁡ t ⋅ cos ⁡ t 2   →

r → ' t = e sin ⁡ t ⋅ cos ⁡ t 2

Como t é positivo apenas...

r → ' t = e sin ⁡ t ⋅ cos ⁡ t 2

logo...

d s = 2 e sin ⁡ t ⋅ cos ⁡ t   d t

Passo 4

Agora basta que peguemos os três ingredientes anteriormente encontrados e substituirmos na integral...

∫ C   f x ,   y d s

O C será substituído pela variação do parâmetro:

∫ C   f x ,   y d s = 2 ∫ 0 π 2 e sin ⁡ t - 1 2 e sin ⁡ t ⋅ cos ⁡ t   d t  

Agora basta que calculemos esta integral simples que apareceu fazendo uma substituição do tipo

e sin ⁡ t - 1 =   u       →

calculemos o d u

d u = e sin ⁡ t ⋅ cos ⁡ t   d t

Não se esqueça de substituir também os limites de integração...

t = 0                   →                     u = e 0 - 1 = 0

t = π 2                   →                     u = e - 1

2 ∫ 0 π 2 e sin ⁡ t - 1 2 e sin ⁡ t ⋅ cos ⁡ t   d t   = 2 ∫ 0 e - 1 u 2   d u =

2 u 3 3 0 e - 1 = 2 e - 1 3 3

Resposta

a )   1 3 e - 1 3 ⋅ 2

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