Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

Sabendo que

I = ∫ C d s x 2 a 4 + y 2 b 4 = 8

Onde C é a elipse

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Calcule a área da região limitada pela elipse.

Passo 1

A área da elipse pode ser encontrada pela fórmula:

a r e a = π a b

Só que ele não dá os valores de a nem de b , só dá uma integral de linha super estranha aí, mas vamos esperar que a gente consiga alguma informação dela, né, senão o exercício não faz sentido.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos uma integral de linha escalar, então vamos usar nossa fórmula:

∫ C f x , y d s = ∫ a b f x t , y t σ → ' t d t

A parametrização da elipse é dada por:

C : σ → = a cos ⁡ t , b sen ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Então, pro módulo do vetor tangente vamos ter:

σ → ' t = d x d t 2 + d y d t 2 = a 2 sen 2 ⁡ t + b 2 cos 2 ⁡ t

Agora a gente já tem tudo pra calcularmos nossa integral!

Passo 3

Substituindo na fórmula, vamos ter:

∫ 0 2 π a 2 sen 2 ⁡ t + b 2 cos 2 ⁡ t a 2 cos 2 ⁡ t a 4 + b 2 sen 2 ⁡ t b 4 d t

Eita, que negócio estranho... Mas vamos confiantes que vai dar tudo certo!

⇒ ∫ 0 2 π a 2 sen 2 ⁡ t + b 2 cos 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t a 2 + sen 2 ⁡ t b 2 d t

⇒ ∫ 0 2 π a 2 sen 2 ⁡ t + b 2 cos 2 ⁡ t b 2 cos 2 ⁡ t + a 2 sen 2 ⁡ t a 2 b 2 d t

⇒ ∫ 0 2 π a 2 sen 2 ⁡ t + b 2 cos 2 ⁡ t . a 2 b 2 b 2 cos 2 ⁡ t + a 2 sen 2 ⁡ t d t

⇒ ∫ 0 2 π a 2 b 2   d t

Viu, uma hora isso tinha que simplificar!

a b . t │ 0 2 π = 2 π a b

Passo 4

Como ele dá no enunciado que:

I = 2 π a b = 8 → a b = 4 π

Jogando isso lá na nossa fórmula da área da elipse, vamos ter:

π a b = π 4 π

⇒ 4

Ufa, que exercício estranho... Mas é só a gente não se perder naquelas expressões malucas que uma hora sai!

Resposta

4

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