Exercícios Resolvidos de Caso Escalar R²

USP - Cálculo 3 - P1 2015 – 2b

Seja C a curva cujo traço é a parte da elipse x 2 3 + y 2 4 = 1 no primeiro quadrante.

Calcule a massa de C, sendo a densidade δ x , y = x y .

Passo 1

Na teoria, a gente viu que a massa de uma curva é dada pela integral de linha:

∫ C δ x , y d s

A densidade a gente já tem, δ x , y = x y . Então, fica só faltando parametrizar a curva e calcular σ → ' t   d t . Vamos lá!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O enunciado nos deu a equação da elipse da seguinte forma:

x 2 3 + y 2 4 = 1

Pra poder parametrizar isso, vamos precisar usar a relação fundamental trigonométrica que diz isso aqui

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

Portanto

x 2 3 = cos 2 ⁡ t

x 2 = 3 cos 2 ⁡ t

x = 3 cos ⁡ t

Agora o mesmo para y

y 2 4 = sen 2 ⁡ t

y 2 = 4 sen 2 ⁡ t

y = 2 sen ⁡ t

Ele tem parametrização:

σ → = 3 cos ⁡ t ,   2 sen ⁡ t

Mas como só temos o pedaço do primeiro quadrante:

0 ≤ t ≤ π 2

Passo 3

Vamos lembrar a fórmula de σ → ' t d t :

σ → ' t d t =   d x d t 2 + d y d t 2 d t

Precisamos colocar as derivas da parametrização dentro da raiz, certo? Vamos calcular elas aqui rapidinho então

x t = 3 cos ⁡ t → x ' t = - 3 sen ⁡ t

y t = 2 sen ⁡ t → y ' t = 2 cos ⁡ t

σ → ' = - 3 sen ⁡ t 2 + 2 cos ⁡ t 2

= 3 sen 2 ⁡ t + 4 cos 2 ⁡ t

= 3 sen 2 ⁡ t + 3 cos 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t

= 3 sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = cos 2 ⁡ t + 3

E agora é só jogar na integral!

Passo 4

Voltando lá, o que a gente queria calcular era:

∫ a b δ x t , y t ∙ σ → ' t   d t = ∫ 0 π 2 3 cos ⁡ t ∙   2 sen ⁡ t   ∙ cos 2 ⁡ t + 3   d t

Que parece meio estranho de calcular, mas podemos resolver fazendo a substituição:

u = cos 2 ⁡ t + 3

d u = 2 cos ⁡ t ∙ - sen ⁡ t   d t → d t = d u - 2 cos ⁡ t ∙ sen ⁡ t

Então vamos ter:

∫ 3 cos ⁡ t ∙   2 sen ⁡ t   ∙ cos 2 ⁡ t + 3   d t = ∫ - 3 ∙ u   d u

= - 3 ∙ 2 u 3 2 3 = - 3 ∙ 2 3 ∙ cos 2 ⁡ t + 3 3 2

E aplicando os limites de integração, temos:

2 3 3 ∙ - cos 2 ⁡ t + 3 3 2 │ 0 π 2 = 3 ∙ 2 3 ∙ - 3 3 2 + 4 3 2

= - 18 + 2 3 ∙ 8 3 = 16 3 - 18 3

Resposta

16 3 - 18 3

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