Exercícios Resolvidos de Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

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Enunciado

Calcule a 2021-ésima derivada das funções

b) g x = x e x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função g x dada por:

g x = x e x

E pede para determinarmos a 2021-ésima derivada.

Eita que é muita derivada para a gente fazer né? hehe

Então, nessa questão a gente deve focar em analisar um padrão para cada derivada que a gente faz.

Assim, não é necessário ficarmos fazendo muuuuitas derivadas!

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, derivando g ( x ) temos a derivada de ordem 1 (aplicando a regra do produto):

g ' x = x ' e x + x * e x '

g ' x = 1 * e x + x * e x ∴

g ' x = e x 1 + x

Para a derivada de ordem 2, temos (também aplicando a regra do produto):

g ' ' x = g ' x ' ∴

g ' ' x = e x ' * 1 + x + e x * 1 + x ' ∴

g ' ' x = e x * 1 + x + e x * 1 ∴

g ' ' x = e x * 2 + x

Passo 3

Perceba que para a primeira derivada tivemos:

g ' x = e x 1 + x

E, para a segunda derivada, tivemos:

g ' ' x = e x * 2 + x

Assim, seguindo o padrão, para a 2021-ésima derivada, teremos:

g 2021 x = e x * 2 021 + x

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

g 2021 x = e x * 2021 + x

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