Exercícios Resolvidos de Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

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Enunciado

Calcule f ( 2021 ) ( x ) , onde

f ( x ) = c o s ( x )

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 1!!! Queremos calcular f ( 2021 ) ( x )

f ( x ) = c o s ( x )

Para isso, vamos relembrar algumas regras de derivação

Regra da constante:

s e   f ( x ) = c ;   c ∈ R

⇒ f ' ( x ) = 0

Regra do produto:

s e   f ( x ) = g ( x ) h ( x )

⇒ f ' ( x ) = g ' ( x ) h ( x ) + g ( x ) h ' ( x )

Regra da razão:

s e   f ( x ) = g ( x ) / h ( x )

⇒ f ' ( x ) = ( g ' ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ' ( x ) ) / h ² ( x )

Regra do polinômio

s e   f ( x ) = x n ,   n ≠ 0

⇒ f ' ( x ) = n x n - 1

regra da cadeia

s e   f ( x ) = g ( h ( x ) )

⇒ f ' ( x ) = g ' ( h ( x ) ) * h ' ( x )

Vamos nessa!

Passo 2

Vamos começar calculando f ' ( x )

f ( x ) = c o s ( x )

Como estamos derivando cosseno, temos que

f ' ( x ) = - s i n ( x )

derivando novamente

f ' ' ( x ) = - c o s ( x )

derivando novamente

f ( 3 ) ( x ) = s i n ( x )

Por fim temos que

f ( 4 ) ( x ) = c o s ( x )

Ou seja sempre que derivamos 4 vezes voltamos para a função original. Etão temos que

f ( 4 n ) ( x ) = c o s ( x )

Passo 3

Como queremos calcular

f ( 2021 ) ( x )

temos:

f ( 2021 ) ( x ) = ( f ( 4 * 505 ) ) ' ( x )

= ( c o s ( x ) ) '

= - s i n ( x )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

- s i n ( x )

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