Exercícios Resolvidos de Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

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Enunciado

18 . Considere a função y = x + 5 sen ⁡ x + 8 x + cos ⁡ x . Então y satisfaz a equação

A : y ' ' + y = 2 cos ⁡ x + 8 x

B : 2 y ' ' + y = cos ⁡ x + 8 x

C : y ' ' + y = 2 sen ⁡ x + 8 x  

D : y ' ' - y = 2 cos ⁡ x - 8 x

E : y ' ' - y = 2 sen ⁡ x - 8 x  

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Para saber qual equação y pertence a gente tem que jogar y em cada equação e ver em qual a igualdade vai ser verdadeira.

Antes de fazermos isso vamos encontrar a segunda derivada de y em relação a x .

Para esse problema temos que lembrar que:

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

E vamos usar também a regra do produto, onde temos que:

f g ' = f ' g + f g '

Vamos nessa então!

Passo 2

Primeiro vamos calcular a primeira derivada de y , temos:

y ' = x + 5 ' sen ⁡ x + x + 5 ( sen ⁡ x ) ' + 8 ( x + cos ⁡ x ) '

⇒ y ' = sen ⁡ x + x + 5 cos ⁡ x + 8 - 8 sen ⁡ x

⇒ y ' = x + 5 cos ⁡ x - 7 sen ⁡ x + 8

Passo 3

Agora vamos calcular a segunda derivada, temos:

y ' ' = x + 5 ' cos ⁡ x + ( x + 5 ) ( cos ⁡ x ) ' - ( 7 sen ⁡ x ) ' + ( 8 ) '

⇒ y ' ' = cos ⁡ x - x + 5 sen ⁡ x - 7 cos ⁡ x

Passo 4

Agora vamos fazer as operações do lado esquerdo de cada equação do enunciado e ver qual que vai bater com o lado direito.

Temos as seguintes operações:

y ' ' - y

y ' ' + y

2 y ' ' + y

Vamos começar com y ' ' - y , temos:

cos ⁡ x - x + 5 sen ⁡ x - 7 cos ⁡ x - [ x + 5 sen ⁡ x + 8 x + cos ⁡ x ]

⇒ y ' ' - y = - 6 cos ⁡ x - x + 5 sen ⁡ x - x + 5 sen ⁡ x - 8 x - 8 cos ⁡ x

⇒ y ' ' - y = - 1 4 cos ⁡ x - 2 x + 5 sen ⁡ x - 8 x

Agora para y ' ' + y , temos:

cos ⁡ x - x + 5 sen ⁡ x - 7 cos ⁡ x + [ x + 5 sen ⁡ x + 8 x + cos ⁡ x ]

⇒ y ' ' + y = - 6 cos ⁡ x - x + 5 sen ⁡ x + x + 5 sen ⁡ x + 8 x + 8 cos ⁡ x

⇒ y ' ' + y = 2 cos ⁡ x + 8 x

E por último 2 y ' ' + y :

2 cos ⁡ x - 2 x + 5 sen ⁡ x - 14 cos ⁡ x + [ x + 5 sen ⁡ x + 8 ( x + cos ⁡ x ) ]

⇒ 2 y ' ' + y = - 12 cos ⁡ x - 2 x + 5 sen ⁡ x + x + 5 sen ⁡ x + 8 x + 8 cos ⁡ x

⇒ 2 y ' ' + y = - 4 cos ⁡ x - x + 5 sen ⁡ x + 8 x

Olhando o que calculamos e comparando com cada item, temos que a única igualdade verdadeira é a da letra A .

Resposta

A : y ' ' + y = 2 cos ⁡ x + 8 x

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