Exercícios Resolvidos de Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

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Enunciado

Calcule f ( 16 ) ( x ) , onde

f ( x ) = x - 1

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 1!!! Queremos calcular f ( 16 ) ( x )

f ( x ) = x - 1

Para isso, vamos relembrar algumas regras de derivação

Regra da constante:

s e   f ( x ) = c ;   c ∈ R

⇒ f ' ( x ) = 0

Regra do produto:

s e   f ( x ) = g ( x ) h ( x )

⇒ f ' ( x ) = g ' ( x ) h ( x ) + g ( x ) h ' ( x )

Regra da razão:

s e   f ( x ) = g ( x ) / h ( x )

⇒ f ' ( x ) = ( g ' ( x ) h ( x ) - g ( x ) h ' ( x ) ) / h ² ( x )

Regra do polinômio

s e   f ( x ) = x n ,   n ≠ 0

⇒ f ' ( x ) = n x n - 1

regra da cadeia

s e   f ( x ) = g ( h ( x ) )

⇒ f ' ( x ) = g ' ( h ( x ) ) * h ' ( x )

Vamos nessa!

Passo 2

Usando a regra do polinômio, temos que

f ( x ) = x - 1

então

f ' ( x ) = - x - 2

Aplicando a regra uma segunda vez

f ' ' ( x ) = 2 x - 3

derivando novamente

f ' ' ' ( x ) = - 3 * 2 x - 4

Ou seja, já podemos ver que existe uma lei de formação para as derivadas maiores. Ela vai ser dada por:

f ( n ) ( x ) = ( - 1 ) n n ! x - n - 1

Logo,

f ( 16 ) ( x ) = ( - 1 ) 16 16 ! x - 17

= 16 ! x - 17

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

16 ! x - 17

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