Exercícios Resolvidos de Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

Elaboração Própria

Determine f n x sendo que f x = sen ⁡ x + cos ⁡ x

Passo 1

Aqui ele quer a derivada de ordem n , isso é aquele exercício de achar o padrão da derivada.

A forma de achar o padrão é ir derivando até entender o padrão mesmo, não tem muito que fazer aqui. Temos uma soma de seno com cosseno, então vamos dar uma arrumada nessa função para ficar mais fácil de achar os padrões

f x = u x + y x

Com

u x = sen ⁡ x

e

y x = cos ⁡ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar com u x

u ' x = cos ⁡ x

u ' ' x = - sen ⁡ x

u ' ' ' x = - cos ⁡ x

u 4 x = sen ⁡ x

Repara que eu fui derivando, e quando cheguei na 4 ª derivada ela foi igual a função, se eu continuar derivando esse ciclo vai se repetir, isso porque a função seno fica indo para a cosseno e vice versa só variando as vezes o sinal. Então vamos ter

u n x = sen ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4 cos ⁡ x s e n   é   m ú t i p l o   d e   4   m a i s   1 - sen ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   2 - cos ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   3

O primeiro, com n = 0 é sen ⁡ x somando 4 passamos a ter n = 4 e a função volta a ser sen ⁡ x , então sempre que n for múltiplo de 4 u n vai ser sen ⁡ x . Usando esse mesmo raciocínio podemos ir somando 1 , 2 ou 3 para achar as outras possíveis u n , assim a nossa u n é como está escrito ali em cima.

Passo 3

Vamos agora para y x

y ' x = - sen ⁡ x

y ' ' x = - cos ⁡ x

y ' ' ' x = sen ⁡ x

y 4 x = cos ⁡ x

Repara que eu fui derivando, e quando cheguei na 4 ª derivada ela foi igual a função de novo.

Se eu continuar derivando esse ciclo vai se repetir, isso porque a função cosseno fica indo para a seno e vice versa só variando as vezes o sinal. Então vamos ter

y n x = cos ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4 - sen ⁡ x s e n   é   m ú t i p l o   d e   4   m a i s   1 - cos ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   2 sen ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   3

O primeiro, com n = 0 é cos ⁡ x somando 4 passamos a ter n = 4 e a função volta a ser cos ⁡ x , então sempre que n for múltiplo de 4 y n vai ser cos ⁡ x . Usando esse mesmo raciocínio podemos ir somando 1 , 2 ou 3 para achar as outras possíveis y n , assim a nossa y n é como está escrito ali em cima.

Aqui aconteceu algo que vale a pena ser falado, sempre que você tiver um seno ou um cosseno numa questão dessa de achar padrão da derivada não esqueça dividir de 4 em 4 derivadas a sua análise, então fica ligado nesse detalhe.

Passo 4

Opa, agora temos u n e y n , vamos para o que ele pediu

f n x = u n x + y n x

Então nossa função f n vai ser

f n x = sen ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4 cos ⁡ x s e n   é   m ú t i p l o   d e   4   m a i s   1 - sen ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   2 - cos ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   3 + cos ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4 - sen ⁡ x s e n   é   m ú t i p l o   d e   4   m a i s   1 - cos ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   2 sen ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   3

Opa, os pedaços acontecem nos mesmos valores de n , então podemos juntar essa parada

f n x = sen ⁡ x + cos ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4 cos ⁡ x - sen ⁡ x s e n   é   m ú t i p l o   d e   4   m a i s   1 - sen ⁡ x - cos ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   2 - cos ⁡ x + sen ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   3

Resposta

f n x = sen ⁡ x + cos ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4 cos ⁡ x - sen ⁡ x s e n   é   m ú t i p l o   d e   4   m a i s   1 - sen ⁡ x - cos ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   2 - cos ⁡ x + sen ⁡ x s e n   é   m ú l t i p l o   d e   4   m a i s   3

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