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Exercícios Resolvidos de Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

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Enunciado

Determine f n x sendo que f x = ln ⁡ x x

Passo 1

Fazer a primeira derivada

Aqui ele quer a derivada de ordem n , isso é aquele exercício de achar o padrão da derivada.

A forma de achar o padrão é ir derivando até entender o padrão mesmo, não tem muito que fazer aqui. E pra gente começar a derivar, precisamos olhar bem fundo nos olhos da função e descobrir o que ela é, então vou deixar aqui pra vocês se olharem:

f x = ln ⁡ x x

Bem, ela não é nem ln ⁡ x e nem x e sim uma mistura dos dois! Quando temos uma mistura assim, onde uma função tá multiplicada pela outra, a gente já taca logo uma regra do produto. Só pra lembrar, se:

f x = g x h x

Então a derivada vai ser:

f ' x = g ' x h x + g x h ' x

Olhando no fundo dos olhos da nossa função ela vira pra gente e mostra que, no modelo acima, g x e h x vão ser:

g x = ln ⁡ x

h x = x = x 2

E suas derivadas vão ser:

g ' x = 1 x

E pra h x , derivar pode ser um pouco mais enrolado. Mas se olharmos a função dessa forma:

h x = x = x 2

Podemos usar a regra da cadeia pra derivar:

h ' x = 1 2 x 2 x 2 '

h ' x = 1 2 x 2 x

h ' x = x x

A primeira derivada fica:

f ' x = x x + ln ⁡ x x x

Saca só o que vamos fazer agora: colocar tudo no mesmo denominador. Pra que? Bem, aquele x não casa muito bem com o denominador da outra parcela. Então bora lá mudar isso:

x x = x x ∙ x x = x x x x =

= x x x 2 x 2 = x x x 2 = x x  

Opa, quer dizer então que x x = x x ? Certíssimo! A primeira derivada fica:

f ' x = x x + ln ⁡ x x x

f ' x = x + ln ⁡ x x x

Passo 2

Fazer as próximas derivadas

Ok, temos a primeira derivada. Mas e agora? Como achar o padrão? Tem jeito não, temos que derivar várias vezes até achar um. Mas olha de novo porque escrevemos a primeira derivada daquela forma:

f ' x = x + ln ⁡ x x x

Quando derivarmos isso várias vezes, vamos acabar usando a regra do quociente. Pra lembrar também, a regra do quociente vai ser:

u x v x ' = u ' x   v x - u x v ' x v x 2

Se u x = x + ln ⁡ x x e v x = x , dá uma olhada em como fica a segunda derivada:

f ' ' x = x x + ln ⁡ x x ' - x + ln ⁡ x x x 2

f ' ' x = x x x + ln ⁡ x x ' - x - ln ⁡ x x x 2

Sendo ln ⁡ x x ' exatamente o mesmo valor da primeira derivada, ficamos com:

f ' ' x = x x x + x + ln ⁡ x x x - x - ln ⁡ x x x 2

f ' ' x = x + x + ln ⁡ x x - x - ln ⁡ x x x 2

f ' ' x = x x 2

Viu que o denominador foi ao quadrado? Então da primeira pra segunda derivada a gente já viu que a ordem do polinômio no denominador subiu em uma unidade. Se a gente derivar de novo e acontecer a mesma coisa então, vai ser show porque estaremos bem encaminhados!

E outra coisa muito importante: o termo ln ⁡ x sumiu! Agora que ele sumiu as coisas vão ficar mais fáceis de derivar! E mais fácil de achar o padrão também.

Trabalho braçal agora, infelizmente. A terceira derivada então vai ser:

f 3 x = x x 2 '

f 3 x = x 2 x ' - x 2 ' x x 4

f 3 x = x 2 x x - 2 x x x 4

f 3 x = x x - 2 x x x 4 = x - 2 x x 3

f 3 x = - x x 3

Vamos derivar mais três vezes só, beleza? A próxima derivada:

f 4 x = - x x 3 ' = - 1 x 3 x ' - x 3 ' x x 6

f 4 x = - 1 x 3 x x - 3 x 2 x x 6 = - 1 x 2 x - 3 x 2 x x 6

f 4 x = - 1 x - 3 x x 4 = - 1 - 2 x x 4 = 2 x x 4

E a próxima:

f 5 x = 2 x x 4 ' = 2 x 4 x ' - x 4 ' x x 8

f 5 x = 2 x 4 x x - 4 x 3 x x 8 = 2 x 3 x - 4 x 3 x x 8

f 5 x = 2 x - 4 x x 5 = 2 - 3 x x 5 =   - 6 x x 5

E a última:

f 6 x = - 6 x x 5 ' = - 6 x 5 x ' - x 5 ' x x 10

f 6 x = - 6 x 5 x x - 5 x 4 x x 10 = - 6 x 4 x - 5 x 4 x x 10  

f 6 x = - 6 x - 5 x x 6 = - 6 - 4   x x 6 = 24 x x 6

Passo 3

Analisar o padrão obtido pelo resultado anterior

Show de bola, vamos reunir tudo que achamos:

f x = ln ⁡ x x

f 1 x = x + ln ⁡ x x x

f 2 x = x x 2

f 3 x = - x x 3

f 4 x = 2 x x 4

f 5 x =   - 6 x x 5

f 6 x = 24 x x 6

A primeira coisa que temos que perceber aqui é que f n x pra n = 1 não encaixa em nenhum padrão. Afinal, essa é a única derivada que tem um ln ⁡ x em algum lugar! Então vamos achar um padrão para n ≥ 2 .

Se olharmos as derivadas, vamos ver que:

  • Todos eles tem um x intocado!
  • Todos eles tem o x dividido por uma potência de x de ordem igual à quantidade de vezes que o f x foi derivado!
  • Todas as derivadas de ordem par são positivas, e todas as derivadas de ordem ímpar são negativas
  • As constantes (em módulo) multiplicando x x n seguem a ordem fatorial com duas unidades de atraso em relação à ordem da derivada.
    • 0 ! = 1 Constante que multiplica, em módulo, f 2 x
    • 1 ! = 1 Constante que multiplica, em módulo, f 3 x
    • 2 ! = 2 ∙ 1 = 2 Constante que multiplica, em módulo, f 4 x
    • 3 ! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 Constante que multiplica, em módulo, f 5 x
    • 4 ! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 Constante que multiplica, em módulo, f 6 x

Juntando todas essas informações, podemos concluir que:

f n x = x + ln ⁡ x x x   ;                         s e   n = 1 - 1 n n - 2 ! x x n   ;             s e   n ≥ 2

Resposta

f x = ln ⁡ x x

f n x = x + ln ⁡ x x x   ;                         s e   n = 1 - 1 n n - 2 ! x x n   ;             s e   n ≥ 2

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