Exercícios Resolvidos de Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

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Enunciado

Seja y = x + 1 x - 1 . Verifique que 1 - x y ' ' = 2 y ' .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar que a igualdade 1 - x y ' ' = 2 y ' é verdadeira, tendo y = x + 1 x - 1 .

Pra isso, nós vamos precisar derivar duas vezes nossa função e verificar a relação entre os resultado. E como y é um quociente, não podemos esquecer de aplicar a regra do quociente na derivação.

Relembrando, na regra do quociente, temos:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g 2 ( x )

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a nossa função y = x + 1 x - 1 . Aplicando a regra do quociente, temos:

y ' = x + 1 ' x - 1 - x + 1 x - 1 ' x - 1 2

y ' = 1 x - 1 - x + 1 1 x - 1 2 = x - 1 - x - 1 x - 1 2

y ' = - 2 x - 1 2

Passo 3

Agora vamos derivar mais uma vez, também usando a regra do quociente:

y ' ' = - 2 ' x - 1 2 - - 2 [ x - 1 2 ] ' x - 1 4

Usando a regra do cadeia no termo [ x - 1 2 ] ' , temos:

y ' ' = 0 ∙ x - 1 2 + 2 2 ( x - 1 ) ( 1 ) x - 1 4

Simplificando:

y ' ' = 4 ( x - 1 ) x - 1 4 = 4 x - 1 3

Passo 4

Agora vamos verificar a igualdade 1 - x y ' ' = 2 y ' . Substituindo y ' ' = 4 x - 1 3 no primeiro membro da igualdade, temos:

1 - x y ' ' = 1 - x 4 x - 1 3

Colocando - 1 em evidência e simplificando:

= - x - 1 4 x - 1 3

= - 4 x - 1 2

Agora substituindo y ' = - 2 x - 1 2 no segundo membro da igualdade, temos:

2 y ' = 2 - 2 x - 1 2 = - 4 x - 1 2

Portanto, a igualdade é verdadeira.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   n o s   p a s s o s

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