Exercícios Resolvidos de Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

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Enunciado

Calcule as derivadas de primeira, segunda e terceira ordem das funções abaixo:

b) g t = t sin ⁡ t

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função g t dada por:

g t = t sin ⁡ t

E pede para determinarmos as derivadas de primeira, segunda e terceira ordem.

Em outras palavras, queremos derivar a função de forma que a primeira derivada seja g ' t .

Depois, derivamos g ' t para encontrarmos a derivada segunda g ' ' t .

E segue o mesmo raciocínio para a derivada de terceira ordem.

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, derivando g t temos a derivada de ordem 1 (aplicando a regra do produto em t sin ⁡ t ):

g ' t = t * cos ⁡ t + sin ⁡ t * 1 ∴

g ' t = t cos ⁡ t + sin ⁡ t

Para a derivada de ordem 2, temos:

g ' ' t = g ' t ' ∴

Aplicando a regra do produto em t cos ⁡ t e derivando o seno, temos:

g ' ' t = t * - sin ⁡ t + 1 * cos ⁡ t + cos ⁡ t ∴

g ' ' t = 2 cos ⁡ t - t sin ⁡ t

Por fim, para a derivada de ordem 3, temos:

g ' ' ' t = g ' ' t ' ∴

Já vimos que a derivada t sin ⁡ t ' = t cos ⁡ t + sin ⁡ t , temos então:

g ' ' ' t = 2 - sin ⁡ t - t cos ⁡ t + sin ⁡ t ∴

g ' ' ' t = - 3 sin ⁡ t - t cos ⁡ t

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

g ' t = t cos ⁡ t + sin ⁡ t

g ' ' t = 2 cos ⁡ t - t sin ⁡ t

g ' ' ' t = - 3 sin ⁡ t - t cos ⁡ t

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