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Exercícios Resolvidos de Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

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Enunciado

Determine f n x sendo que f x = sinh ⁡ ln ⁡ x

Passo 1

Fazer a primeira derivada

Aqui ele quer a derivada de ordem n , isso é aquele exercício de achar o padrão da derivada.

A forma de achar o padrão é ir derivando até entender o padrão mesmo, não tem muito que fazer aqui. E pra gente começar a derivar, precisamos olhar bem fundo nos olhos da função e descobrir o que ela é, então vou deixar aqui pra vocês se olharem:

f x = sinh ⁡ ln ⁡ x

Bem, ela não é nem sinh ⁡ x e nem ln ⁡ x e sim uma mistura dos dois! Quando temos uma mistura assim, onde uma função tá dentro da outra, a gente já taca logo uma regra da cadeia. Só pra lembrar, se:

f x = g h x

Então a derivada vai ser:

f ' x = g ' h x h ' x

Olhando no fundo dos olhos da nossa função ela vira pra gente e mostra que, no modelo acima, g x e h x vão ser:

g x = sinh ⁡ x

h x = ln ⁡ x

E suas derivadas:

g ' x = cosh ⁡ x

h ' x = 1 x

Show, então a primeira derivada fica:

f ' x = cosh ⁡ ln ⁡ x x

Passo 2

Fazer as próximas derivadas

Ok, temos a primeira derivada. Mas e agora? Como achar o padrão? Tem jeito não, temos que derivar várias vezes até achar um. Mas olha só uma macete na hora achar o padrão:

f ' x = cosh ⁡ ln ⁡ x x

Quando derivarmos isso várias vezes, vamos acabar usando a regra do quociente. Pra lembrar também, a regra do quociente vai ser:

u x v x ' = u ' x   v x - u x v ' x v x 2

Se u x = cosh ⁡ ln ⁡ x e v x = x , dá uma olhada em como fica a segunda derivada:

f ' ' x = x cosh ⁡ ln ⁡ x ' - x ' cosh ⁡ ln ⁡ x   x 2

f ' ' x = x sinh ⁡ ln ⁡ x x - cosh ⁡ ln ⁡ x   x 2

f ' ' x = sinh ⁡ ln ⁡ x - cosh ⁡ ln ⁡ x   x 2

Viu que o denominador foi ao quadrado? Então da primeira pra segunda derivada a gente já viu que a ordem do polinômio no denominador subiu em uma unidade. Se a gente derivar de novo e acontecer a mesma coisa então, vai ser show porque estaremos bem encaminhados!

Perceba que tivemos que usar a regra da cadeia de novo pra derivar cosh ⁡ ln ⁡ x . Tem jeito não, nessa questão vamos misturar regra do quociente e da cadeia algumas vezes

Vamos derivar mais três vezes só, beleza? A próxima derivada:

f 3 x = sinh ⁡ ln ⁡ x - cosh ⁡ ln ⁡ x   x 2 '

f 3 x = x 2 sinh ⁡ ln ⁡ x - cosh ⁡ ln ⁡ x ' - x 2 ' sinh ⁡ ln ⁡ x - cosh ⁡ ln ⁡ x x 4

f 3 x = x 2 cosh ⁡ ln ⁡ x x - sinh ⁡ ln ⁡ x x - 2 x sinh ⁡ ln ⁡ x - cosh ⁡ ln ⁡ x x 4

f 3 x = x cosh ⁡ ln ⁡ x - x sinh ⁡ ln ⁡ x - 2 x sinh ⁡ ln ⁡ x + 2 x cosh ⁡ ln ⁡ x x 4

f 3 x = cosh ⁡ ln ⁡ x - sinh ⁡ ln ⁡ x - 2 sinh ⁡ ln ⁡ x + 2 cosh ⁡ ln ⁡ x x 3

f 3 x = 3 cosh ⁡ ln ⁡ x - 3 sinh ⁡ ln ⁡ x x 3

f 3 x = 3 cosh ⁡ ln ⁡ x - sinh ⁡ ln ⁡ x x 3

E a próxima:

f 4 x = 3 cosh ⁡ ln ⁡ x - sinh ⁡ ln ⁡ x x 3 '

f 4 x = 3 x 3 cosh ⁡ ln ⁡ x - sinh ⁡ ln ⁡ x ' - x 3 ' cosh ⁡ ln ⁡ x - sinh ⁡ ln ⁡ x x 6

f 4 x = 3 x 3 sinh ⁡ ln ⁡ x x - cosh ⁡ ln ⁡ x x - 3 x 2 cosh ⁡ ln ⁡ x - sinh ⁡ ln ⁡ x x 6

f 4 x = 3 x 2 sinh ⁡ ln ⁡ x - x 2 cosh ⁡ ln ⁡ x - 3 x 2 cosh ⁡ ln ⁡ x + 3 x 2 sinh ⁡ ln ⁡ x x 6

f 4 x = 3 sinh ⁡ ln ⁡ x - cosh ⁡ ln ⁡ x - 3 cosh ⁡ ln ⁡ x + 3 sinh ⁡ ln ⁡ x x 4

f 4 x = 3 - 4 cosh ⁡ ln ⁡ x + 4 sinh ⁡ ln ⁡ x x 4

f 4 x = 3 4 - cosh ⁡ ln ⁡ x + sinh ⁡ ln ⁡ x x 4

f 4 x = 12 - cosh ⁡ ln ⁡ x + sinh ⁡ ln ⁡ x x 4

E a última:

f 5 x = 12 - cosh ⁡ ln ⁡ x + sinh ⁡ ln ⁡ x x 4 '

f 5 x = 12 x 4 - cosh ⁡ ln ⁡ x + sinh ⁡ ln ⁡ x ' - x 4 ' - cosh ⁡ ln ⁡ x + sinh ⁡ ln ⁡ x x 8

f 5 x = 12 x 4 - sinh ⁡ ln ⁡ x x + cosh ⁡ ln ⁡ x x - 4 x 3 - cosh ⁡ ln ⁡ x + sinh ⁡ ln ⁡ x x 8

f 5 x = 12 x 3 - sinh ⁡ ln ⁡ x + cosh ⁡ ln ⁡ x - 4 x 3 - cosh ⁡ ln ⁡ x + sinh ⁡ ln ⁡ x x 8

f 5 x = 12 - sinh ⁡ ln ⁡ x + cosh ⁡ ln ⁡ x - 4 - cosh ⁡ ln ⁡ x + sinh ⁡ ln ⁡ x x 5

f 5 x = 12 - sinh ⁡ ln ⁡ x + cosh ⁡ ln ⁡ x + 4 cosh ⁡ ln ⁡ x - 4 sinh ⁡ ln ⁡ x x 5

f 5 x = 12 5 cosh ⁡ ln ⁡ x - 5 sinh ⁡ ln ⁡ x x 5

f 5 x = 12 5 cosh ⁡ ln ⁡ x - sinh ⁡ ln ⁡ x x 5

f 5 x = 60 cosh ⁡ ln ⁡ x - sinh ⁡ ln ⁡ x x 5

Passo 3

Analisar o padrão obtido pelo resultado anterior

Show de bola, vamos reunir tudo que achamos:

f x = sinh ⁡ ln ⁡ x

f 1 x = cosh ⁡ ln ⁡ x x

f 2 x = - cosh ⁡ ln ⁡ x + sinh ⁡ ln ⁡ x x 2

f 3 x = 3 cosh ⁡ ln ⁡ x - sinh ⁡ ln ⁡ x x 3

f 4 x = 12 - cosh ⁡ ln ⁡ x + sinh ⁡ ln ⁡ x x 4

f 5 x = 60 cosh ⁡ ln ⁡ x - sinh ⁡ ln ⁡ x x 5

A primeira coisa que temos que perceber aqui é que f n x pra n = 1 não encaixa em nenhum padrão. Afinal, essa é a única derivada que tem em lugar nenhum um termo sinh ⁡ ln ⁡ x ! Então vamos achar um padrão para n ≥ 2 .

Se olharmos as derivadas, vamos ver que:

  • Todas as derivadas possuem um termo sinh ⁡ ln ⁡ x e um termo cosh ⁡ ln ⁡ x
  • O termo sinh ⁡ ln ⁡ x é negativo toda vez que a ordem de derivação é ímpar e positivo toda vez que a ordem de derivação é par
  • O termo cosh ⁡ ln ⁡ x é negativo toda vez que a ordem de derivação é par e positivo toda vez que a ordem de derivação é ímpar
  • Todas as derivadas possuem uma potência de x dividindo de ordem igual à ordem de derivação
  • As constantes multiplicando as derivadas seguem a ordem fatorial em relação à ordem da derivada, porém dividido por 2 :
    • 2 ! 2 = 2 ∙ 1 2 = 1 Constante que multiplica f 2 x
    • 3 ! 2 = 3 ∙ 2 ∙ 1 2 = 3 Constante que multiplica f 3 x
    • 4 ! 2 = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 2 = 12 Constante que multiplica f 4 x
    • 5 ! 2 = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 2 = 60 Constante que multiplica f 5 x

Juntando todas essas informações, podemos concluir que:

f n x = cosh ⁡ ln ⁡ x x   ;                         s e   n = 1 n ! 2 - 1 n - 1 cosh ⁡ ln ⁡ x + - 1 n sinh ⁡ ln ⁡ x x n   ;             s e   n ≥ 2

Resposta

f x = sinh ⁡ ln ⁡ x

f n x = cosh ⁡ ln ⁡ x x   ;                         s e   n = 1 n ! 2 - 1 n - 1 cosh ⁡ ln ⁡ x + - 1 n sinh ⁡ ln ⁡ x x n   ;             s e   n ≥ 2

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