Exercícios Resolvidos de Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

Ver Teoria

Enunciado

Calcule f ' ' para a função do ex. 10 da Lista 7.

f ( x ) = x 3 sin ⁡ 1 x 4 ,       s e   x ≠ 0 0 ,     x = 0

Passo 1

Faaaaala, galeeeera! Tudo certo por aí?

A questão pede a derivada segunda de uma função apresentada em uma lista de exercícios anterior. Temos uma função definida por partes. Note que vamos precisar derivar apenas quando x ≠ 0 , pois para x = 0 temos uma constante. Além disso, você deve saber que se precisamos da derivada segunda, vamos ter que derivar a função duas vezes, beleza?

Podemos aplicar agora a regra da cadeia, já que temos uma função dentro de outra função. Então o que faremos é derivar a função de fora e multiplicar pela derivada da função de dentro. Veja só:

Aplicando a regra da cadeia teremos, para x ≠ 0

f ' x = x 3 ' sen ⁡ 1 x 4 + sin ⁡ 1 x 4 ' x 3

Calculando as derivadas separadamente, temos

x 3 ' = 3 x 2

sin ⁡ 1 x 4 ' = cos ⁡ 1 x 4 = cos ⁡ 1 x 4 x - 4 ' = - 4 cos ⁡ 1 x 4 x - 5 = - 4 cos ⁡ 1 x 4 1 x 5  

A primeira derivada então será

f ' x = 3 x 2 sen ⁡ 1 x 4 + - 4 cos ⁡ 1 x 4 1 x 2

Passo 2

Agora que sabemos quanto é a função derivada somente uma vez, podemos calcular a segunda derivada a partir dela.

f ' ' x = 3 x 2 sen ⁡ 1 x 4 + - 4 cos ⁡ 1 x 4 1 x 2 '

Derivando cada parte separadamente, temos

3 x 2 sen ⁡ 1 x 4 ' = 3 2 x sen ⁡ 1 x 4 - 4 cos ⁡ 1 x 4 1 x 3

Calculando a outra parte da função

- 4 cos ⁡ 1 x 4 1 x 2 ' = 4 4 sen ⁡ 1 x 4 - 2 x 4 cos ⁡ 1 x 4 x 7

Passo 3

Agora que já calculamos as derivadas de maneira separada, podemos juntar tudo, beleza?

f ' ' x = 3 2 x sen ⁡ 1 x 4 - 4 cos ⁡ 1 x 4 1 x 3 + 4 4 sen ⁡ 1 x 4 - 2 x 4 cos ⁡ 1 x 4 x 7

Reorganizando

f ' ' x = 6 x 8 sen ⁡ 1 x 4 - 4 x 4 cos ⁡ 1 x 4 - 16 sen ⁡ 1 x 4 x 7

Logo

f ' ' x = 6 x - 16 x 7 sen ⁡ 1 x 4 - 4 x 3 cos ⁡ 1 x 4  

Prontinho! Até mais!

Resposta

f ' ' x = 6 x - 16 x 7 sen ⁡ 1 x 4 - 4 x 3 cos ⁡ 1 x 4  

Exercícios de Livros Relacionados

65. Determine as expressões para as cinco primeiras derivadas de f x = x 2 e x . Você vê alguma regra nessas expressões?Proponha uma fórmula para f n x e prove-a usando a indução matemática
62. Encontre a n-ésima derivada de cada função calculando algumas das primeiras derivadas e observando o padrão que ocorre.(a) f x = x n (b) f x = 1 x
16. Sejam f x e g x funções deriváveis até 3ª ordem. Mostrar que:a) f g ' ' = g f ' ' + 2 f g ' + f g ' ' b) f g ' ' ' = g f ' ' ' + 2 f ' g ' + f g ' '