Exercícios Resolvidos de Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

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Enunciado

6. Seja

f x = x 3 + a x 2 + b x + 1

Determine o valor das constantes a e b , de tal maneira que o ponto ( 1,6 ) seja um ponto de inflexão de f .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver essa questão primeiro temos que lembrar como achamos o ponto de inflexão de uma função!

Para quem lembrar, o ponto de inflexão é aquele onde a segunda derivada será igual a zero. Então aqui, nós vamos achar a derivada segunda, igualar a zero e substituir o ponto ( 1,6 ) na equação para achar a e b .

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar achando a segunda derivada!

f x = x 3 + a x 2 + b x + 1

Derivando uma vez,

f ' x = 3 x 2 + 2 a x + b

Agora vamos derivar de novo,

f ' ' x = 6 x + 2 a

Agora que encontramos a segunda derivada podemos seguir!

Passo 3

Igualando a zero, ficamos com

f ' ' x = 6 x + 2 a = 0

Isso quer dizer que, no ponto de inflexão:

6 x = - 2 a

x = - 2 6 a

x = - 1 3 a

Agora vamos usar a informação que o enunciado nos forneceu sobre o ponto de inflexão!

Passo 4

O enunciado nos disse que o ponto de inflexção é ( 1,6 ) , ou seja, temos que x = 1 .

No Passo 3, encontramos a seguinte equação,

x = - 1 3 a

Substituindo x = 1 , podemos encontrar a

1 = - 1 3 a

a = - 3

Agora temos que encontrar b .

Passo 5

Para encontrar b , vamos usar a equação original

f x = x 3 + a x 2 + b x + 1

Só que agora sabemos que a = - 3 e temos o ponto ( 1,6 ) . Substituindo esses dados na equação, ficamos com

6 = 1 3 - 3 1 2 + b 1 + 1

Resolvendo,

b = 7

Resposta

a = - 3 e b = 7

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