Exercícios Resolvidos de Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

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Enunciado

  1. Seja f x = | x | se x for racional, e f x = 0 se x for irracional. Verifique se f é contínua em x = 0 .
  2. Considere a função f x = a 1 + a 2 cos ⁡ 2 x + a 3 cos ⁡ 4 x , onde a 1 ,   a 2 ,   a 3 são números reais. Sabendo que f 0 = f ' 0 = f ' ' 0 = f ' ' ' 0 e f π 2 = 1 , determine a 1 ,   a 2 ,   a 3 .

Passo 1

Faaaaala, galerinha do mal!

O enunciado nos deu a seguinte função

f x = a 1 + a 2 cos ⁡ 2 x + a 3 cos ⁡ 4 x

e as seguintes relações

f 0 = f ' 0 = f ' ' 0 = f ' ' ' 0

f π 2 = 1

e pediu pra gente calcular os coeficientes da função.

Vamos por partes, primeiro as derivadas, depois jogamos os valores e montamos o sistema:

Passo 2

f x = a 1 + a 2 cos ⁡ 2 x + a 3 cos ⁡ 4 x f ' x = - 2 a 2 sin ⁡ 2 x - 4 a 3 sin ⁡ 4 x f ' ' x = - 4 a 2 cos ⁡ 2 x - 16 a 3 cos ⁡ 4 x f ' ' ' x = 8 a 2 sin ⁡ 2 x + 64 a 3 sin ⁡ 4 x

Das relações dadas

f 0 = a 1 + a 2 + a 3 f π 2 = a 1 - a 2 + a 3 f ' 0 = 0 f ' ' 0 = - 4 a 2 - 16 a 3 f ' ' ' 0 = 0

Passo 3

Assim, teremos o seguinte sistema de equações

f 0 = f ' 0 = f ' ' 0 = f ' ' ' 0   f π 2 = 1 ⇒ a 1 + a 2 + a 3 = - 4 a 2 - 16 a 3 = 0 a 1 - a 2 + a 3 = 1

Resolvendo

⇒ a 2 = - 4 a 3 a 1 - 4 a 3 + a 3 = 0 a 1 + 4 a 3 + a 3 = 1 ⇒ a 2 = - 4 a 3 a 1 - 3 a 3 = 0 a 1 + 5 a 3 = 1

⇒ a 2 = - 4 a 3 5 a 1 - 15 a 3 = 0 3 a 1 + 15 a 3 = 3 ⇒ a 2 = - 4 a 3 a 1 = 3 a 3 a 3 = 3 / 8

a 2 = - 3 / 2 a 1 = 9 / 8 a 3 = 3 / 8

Resposta

a 2 = - 3 / 2 a 1 = 9 / 8 a 3 = 3 / 8

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