Exercícios Resolvidos de Derivada de Ordem Superior – Achando Padrão

James Stewart, Cálculo Vol. 1, 5ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006, pg 248 exercício 49

Encontre uma fórmula para f n x se f x = ln x - 1

Passo 1

Aqui ele quer a derivada de ordem n , isso é aquele exercício de achar o padrão da derivada.

A forma de achar o padrão é ir derivando até entender o padrão mesmo, não tem muito que fazer aqui.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então, vamos derivar

f ' x = 1 x - 1 = x - 1 - 1

f ' ' x = - 1 x - 1 - 2

f ' ' ' x = - 1 - 2 x - 1 - 3

f 4 x = - 1 - 2 - 3 x - 1 - 4

Passo 3

Opa está surgindo um padrão nessa parada, sempre vamos “descer” o número seguinte negativo, vamos ignorar o sinal por enquanto, consegue perceber que aquele produto vai ser um fatorial? Assim oh

f ' x = 1 0 ! x - 1 - 1

f ' ' x = - 1 1 ! x - 1 - 2

f ' ' ' x = 1 2 ! x - 1 - 3

f 4 x = - 1 3 ! x - 1 - 4

Passo 4

Além disso, os sinais vão trocando em cada derivada. Para as derivadas de ordem par a derivada vai ser negativa e para as derivadas de ordem ímpar a derivada vai ser positiva. Podemos escrever isso assim

f ' x = - 1 1 + 1 0 ! x - 1 - 1

f ' ' x = - 1 2 + 1 1 ! x - 1 - 2

f ' ' ' x = - 1 3 + 1 2 ! x - 1 - 3

f 4 x = - 1 4 + 1 3 ! x - 1 - 4

Sacou? Sempre que ele for mudando o sinal é só colocar - 1 elevado a ordem da derivada mais 1 .

Passo 5

Falta só ver que o expoente é sempre a ordem com um sinal negativo na frente e que o fatorial é sempre a ordem da derivada menos 1 , assim a nossa derivada vai ser

f n x = - 1 n + 1 n - 1 ! x - 1 - n

Passo 6

Vamos agora fazer algumas análises dessa parada que achamos, a primeira coisa é ver que se n = 0 a nossa função não tem nada a ver com essa f n que escrevemos ali.

Assim vamos ter f n na verdade sendo

f n x = ln x - 1 s e n = 0 - 1 n + 1 n - 1 ! x - 1 - n s e n 1

Passo 7

A próxima parada importante para olharmos é se as derivadas estão definidas em todos os pontos que a própria função está definida.

A função é definida em

x - 1 > 0

Assim

x > 1

E o ponto que as derivadas tem problemas é quando aquele x - 1 for 0 , mas isso acontece em x = 1 , que não está definido na função, então temos tudo tranquilo.

Resposta

f n x = ln x - 1 s e n = 0 - 1 n + 1 n - 1 ! x - 1 - n s e n 1

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