Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico – Assíntota Oblíqua

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Enunciado

Considere a função f : R - 1 ,   - 1 → R dada por

f x = x 3 x 2 - 1

  1. Determine os intervalos onde f cresce, decresce e os pontos de máximo e mínimo locais de f .
  2. Determine os intervalos onde f possui concavidade para cima, para baixo e os pontos de inflexão de f .
  3. Calcule os limites pertinentes e discuta a existência de assíntotas.
  4. Esboce o gráfico de f .

Passo 1

(a)

Pra estudar o crescimento da f , vamos derivá-la. Pela regra do quociente:

f ' x = 3 x 2 x 2 - 1 - x 3 2 x x 2 - 1 2 = 3 x 2 x 2 - 1 - 2 x 4 x 2 - 1 2

f ' x = 3 x 4 - 3 x 2 - 2 x 4 x 2 - 1 2 = x 4 - 3 x 2 x 2 - 1 2

Passo 2

Vejamos quando essa derivada se anula:

f ' x = x 4 - 3 x 2 x 2 - 1 2 = 0

x 4 - 3 x 2 = 0

x 4 = 3 x 2

Então ou x = 0 , ou:

x 2 = 3

⇒ x = ± 3

Portanto f tem 3 pontos críticos: x = - 3 ,   x = 0 e x = 3 .

Passo 3

Agora vamos estudar o sinal da derivada, pra determinar onde f cresce/decresce, e também classificar esses pontos críticos.

Primeiro, vejamos onde a derivada é positiva:

f ' x > 0 ⇒ x 4 - 3 x 2 x 2 - 1 2 > 0

x 4 x 2 - 1 2 > 3 x 2 x 2 - 1 2

Para x ≠ 0 , podemos cortar x 2 x 2 - 1 2 dos 2 lados da inequação, aí fica:

x 2 > 3

⇒ x < - 3     o u     x > 3

O que dá no mesmo que:

x ∈ - ∞ ,   - 3 ∪ 3 ,   + ∞

Passo 4

Agora vejamos onde a derivada é negativa. A conta vai ser praticamente idêntica, só vai mudar o sinal da inequação:

f ' x < 0 ⇒ x 4 - 3 x 2 x 2 - 1 2 < 0

O que vai dar:

x 4 x 2 - 1 2 < 3 x 2 x 2 - 1 2

x 2 < 3 ,     x ≠ 0

⇒ x ∈ - 3 ,   0 ∪ 0 ,   3

Passo 5

Dessa análise do sinal da derivada, tiramos que f é crescente no intervalo - ∞ ,   - 3 ∪ 3 ,   + ∞ e decrescente no intervalo - 3 ,   0 ∪ 0 ,   3 .

Logo, pelo teste da primeira derivada, o ponto x = - 3 é um ponto de máximo local, e o ponto x = 3 é ponto de mínimo local.

Já o ponto x = 0 não é nem máximo nem mínimo, tadinho. A função decresce em - 3 ,   0 , e também em 0 ,   3 . A derivada se anulou em x = 0 , mas não mudou de sinal.

Passo 6

(b)

Nesse item precisamos da segunda derivada. Lembrando que

f ' x = x 4 - 3 x 2 x 2 - 1 2

Pela regra do quociente:

f ' ' x = 4 x 3 - 6 x x 2 - 1 2 - x 4 - 3 x 2 2 x 2 - 1 2 x x 2 - 1 4

#Eita...ficou bem feia essa segunda derivada. Precisamos dar uma melhorada nela.

Primeiramente, vamos cortar x 2 - 1 no numerador e no denominador (podemos já que x ≠ ± 1 → x 2 - 1 ≠ 0 ):

f ' ' x = 4 x 3 - 6 x x 2 - 1 - x 4 - 3 x 2 4 x x 2 - 1 3

Agora vamos desenvolver esse numerador e simplificar ele:

4 x 3 - 6 x x 2 - 1 - x 4 - 3 x 2 4 x

= 4 x 5 - 4 x 3 - 6 x 3 + 6 x - 4 x 5 + 12 x 3

= 2 x 3 + 6 x = 2 x x 2 + 3

Ou seja:

f ' ' x = 2 x x 2 + 3 x 2 - 1 3

Bem melhor né?

Passo 7

Vamos procurar os pontos de inflexão, zerando essa derivada segunda:

f ' ' x = 2 x x 2 + 3 x 2 - 1 3 = 0

2 x x 2 + 3 = 0

x = 0     o u     x 2 + 3 = 0 → n ã o   t e m   s o l u ç ã o

Então x = 0 é o nosso único candidato a ponto de inflexão.

Passo 8

Agora vejamos como varia o sinal dessa derivada segunda. Pra isso vamos montar um quadro de sinais:

Só uma observação: x 2 - 1 < 0 para x ∈ - 1 ,   1 , por isso nesse mesmo intervalo temos x 2 - 1 3 < 0 .

Ok, então a partir do quadro de sinais concluímos que

  • f tem concavidade para baixo no intervalo - ∞ ,   - 1 ∪ 0 ,   1
  • f tem concavidade para cima no intervalo - 1 ,   0 ∪ 1 ,   + ∞

Repare que a função muda de concavidade em x = 0 , então esse ponto é de fato um ponto de inflexão.

Com isso matamos a letra (b)! :)

Passo 9

(c)

Agora está declarada a caça às assíntotas. Vamos começar pelas assíntotas verticais, pode ser?

Segundo o próprio enunciado, f está definida em todo o R menos nos pontos x = - 1 e x = 1 . Então esses são os nossos candidatos a assíntota vertical.

Vamos calcular os limites laterais da f nesses pontos:

lim x → - 1 - ⁡ x 3 x 2 - 1 = - ∞

lim x → - 1 + �� x 3 x 2 - 1 = + ∞

lim x → 1 - ⁡ x 3 x 2 - 1 = - ∞

lim x → 1 + ⁡ x 3 x 2 - 1 = + ∞

Assim confirmamos que x = - 1 e x = 1 são assíntotas verticais da f .

Passo 10

Agora vamos calcular os limites em ± ∞ pra ver se achamos alguma assíntota horizontal.

Mas na hora de calcular

lim x → - ∞ ⁡ x 3 x 2 - 1

Caímos numa indeterminação “ ∞ / ∞ ”, então vamos aplicar l’Hôpital pra sair dessa:

lim x → - ∞ ⁡ x 3 x 2 - 1 = lim x → - ∞ ⁡ 3 x 2 2 x = lim x → - ∞ ⁡ 3 2 x = - ∞

Em + ∞ vai ser praticamente a mesma coisa:

lim x → + ∞ ⁡ x 3 x 2 - 1 = L ' H lim x → + ∞ ⁡ 3 x 2 2 x = lim x → + ∞ ⁡ 3 2 x = + ∞

Então nada de assíntota horizontal.

Passo 11

Mas como adoramos assíntotas, vamos averiguar também se o gráfico tem alguma assíntota oblíqua. Se ela existir, o seu coeficiente angular a vai ser dado por:

a = lim x → ± ∞ ⁡ f x x

Esses 2 limites têm que existir e ser iguais. Então vamos calculá-los:

lim x → - ∞ ⁡ f x x = lim x → - ∞ ⁡ x 3 x 2 - 1 x = lim x → - ∞ ⁡ x 2 x 2 - 1

Por l’Hôpital, isso dá:

lim x → - ∞ ⁡ 2 x 2 x = 1

Tá, o limite em - ∞ deu 1 . Vamos pro limite em + ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ f x x = lim x → + ∞ ⁡ x 3 x 2 - 1 x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 x 2 - 1

Da mesma forma, por l’Hôpital, isso dá:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 x = 1

Então o gráfico da f tem uma assíntota oblíqua e seu coeficiente angular é 1 .

Passo 12

A equação geral da assíntota oblíqua (que basicamente é uma reta) é:

y = a x + b

Achamos a = 1 , o b vamos calcular fazendo:

b = lim x → ± ∞ ⁡ f x - a x = lim x → ± ∞ ⁡ f x - x

O que vai dar:

b = lim x → ± ∞ ⁡ x 3 x 2 - 1 - x = lim x → ± ∞ ⁡ x 3 - x x 2 - 1 x 2 - 1

b = lim x → ± ∞ ⁡ x 3 - x 3 + x x 2 - 1 = lim x → ± ∞ ⁡ x x 2 - 1

Seja para x → - ∞ ou para x → + ∞ , caímos numa indeterminação “ ∞ / ∞ ” e podemos usar l’Hôpital:

b = lim x → ± ∞ ⁡ x x 2 - 1 = lim x → ± ∞ ⁡ 1 2 x = 0

Portanto, a equação da assíntota oblíqua é y = x .

Passo 13

(d)

Chegou a hora do esboço. Vamos fazer um breve recapitulativo do (de)crescimento e da concavidade da função:

Pra ajudar, podemos também calcular os valores da função em alguns pontos, como os pontos críticos ou de inflexão:

f - 3 = - 3 3 - 3 2 - 1 = - 3 3 3 - 1 = - 3 3 2

f - 3 ≈ - 3.1,7 2 ≈ - 5,1 2 = - 2,55

⇒ f 3 = 3 3 2 ≈ 2,55

Esses valores não precisam ser muito precisos, eles servem pra ter uma noção na hora do esboço.

f 0 = 0 0 - 1 = 0

Ok, esse foi preciso.

Passo 14

Pensando nisso aí tudo, lembrando também das assíntotas, chegamos enfim no gráfico:

Resposta

(a)

f é crescente no intervalo - ∞ ,   - 3 ∪ 3 ,   + ∞ e decrescente no intervalo - 3 ,   0 ∪ 0 ,   3 .

Ponto de máximo local:

- 3 ,   - 3 3 2

Ponto de mínimo local:

3 , 3 3 2

(b)

f tem concavidade para baixo no intervalo - ∞ ,   - 1 ∪ 0 ,   1

f tem concavidade para cima no intervalo - 1 ,   0 ∪ 1 ,   + ∞

Ponto de inflexão:

0 ,   0

(c)

Assíntotas verticais:

x = - 1     e     x = 1

Assíntota oblíqua:

y = x

(d)

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